Rotation hyperbolique

En mathématiques, une rotation hyperbolique est une application linéaire du plan euclidien qui laisse globalement invariantes des hyperboles ayant les mêmes asymptotes. Par une telle fonction, l'image d'une droite est une autre droite, dans le même quart de plan entre les asymptotes, ce qui donne l'impression qu'il y a eu une rotation de l'une à l'autre.

Les fonctions hyperboliques en permettent une expression élégante, et la plus utilisée.

Du fait qu'en relativité restreinte lors d'un changement de référentiel inertiel, des hyperboles doivent rester invariantes dans l'espace de Minkowski, on peut utiliser les rotations hyperboliques dans l'expression des transformations de Lorentz.

Expressions

Cas où les axes sont les asymptotes

Les points initiaux sont alignés sur la droite d'équation Modèle:Math, leurs images par Modèle:Mvar le sont sur la droite d'équation Modèle:Math

Dans le cas d'un repère dont les axes sont les asymptotes des hyperboles considérées, l'équation d'une telle hyperbole est Modèle:Math, et une rotation hyperbolique est une transformation linéaire du plan $R_a:(x;y)⟼(\frac{x}{a};a.y)$, avec $a\in {ℝ}^{\star }$.

L'ensemble de ces rotations hyperboliques, avec la loi de composition est $R_a\circ R_b=R_{a.b}$ et Modèle:Math, forme un groupe commutatif homéomorphe à $({ℝ}^{\star };\times )$. Comme pour toute application linéaire, l'image d'une droite est une droite, et l'image de points sur une droite placés à intervalles réguliers est un ensemble de points sur une droite et placés à intervalles réguliers. Les sous-espaces vectoriels invariants par Modèle:Mvar sont les asymptotes (qui sont ici les axes).
L'expression matricielle de Modèle:Mvar est $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{a}& 0\\ 0& a\end{array}\right)$ ; comme son déterminant est égal à 1, une figure géométrique transformée par une rotation hyperbolique ne change pas d'aire.

Cas où l'axe focal est l'axe principal du repère

Les points initiaux sont alignés sur la droite d'équation Modèle:Math, leurs images le sont sur la droite d'équation Modèle:Math

Dans un repère orthonormé, cela signifie que ces hyperboles sont les images des hyperboles dont les asymptotes sont les axes, par une rotation d'angle Modèle:Math, ce qui leur donne pour équation Modèle:Math. En utilisant cette rotation, on obtient que les rotations hyperboliques ont pour écriture matricielle

$\left(\begin{array}{cc}C& -S\\ -S& C\end{array}\right),\text{avec}C=\frac{a+\frac{1}{a}}{2}\text{et}S=\frac{a-\frac{1}{a}}{2}$.

Pour Modèle:Math, et en posant $\alpha =\ln (a)\in ℝ$, on obtient Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math, les fonctions hyperboliques habituelles. Modèle:Clr

Utilisation en relativité restreinte

En relativité restreinte, l'intervalle d'espace-temps entre deux événements quelconques est invariant par changement de référentiel inertiel. Donc, pour se ramener à deux dimensions, les changements de coordonnées $(ct;x)⟼(c{t}^{\prime };x^{\prime })$, dus à un changement de référentiel, doivent laisser invariantes les quantités Modèle:Math. Ainsi, en deux dimensions, les transformations de Lorentz sont des rotations hyperboliques pour des hyperboles dont l'axe focal est l'axe du temps Modèle:Mvar. Par ces transformations, les hyperboles et leurs asymptotes (qui forment le bord du cône de lumière) restent globalement invariantes, les axes de coordonnées du référentiel changent de directions (et de longueur unité) : on peut parler d'une rotation de ces axes dans l'espace-temps de Minkowski, avec dilatation du temps et contraction des longueurs, ainsi que concevoir les diagrammes de Minkowski.

Voir aussi

• Coordonnées hyperboliques