Série diagonale

Modèle:Ébauche Modèle:Voir homonymes En mathématiques, une série diagonale est une série univariée, formelle ou convergente, obtenue à partir d'une série multivariée par extractions des coefficients diagonaux.

Définition

Soit f une série formelle en les variables $x_1,\dots ,x_n$ :

$f=\sum _{i_1,\dots ,i_n⩾0}{a}_{i_1,\dots ,i_n}{x}_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}.$

La diagonale de f, notée $\mathrm{diag}(f)$, est la série univariée définie par

$\mathrm{diag}(f)=\sum _{i⩾0}{a}_{i,\dots ,i}{t}^i.$

Exemple

Si f est la série correspondant au développement en série de la fraction $\frac{1}{1-x_2-x_3-x_1{x}_2-x_1{x}_3}$, alors $\mathrm{diag}(f)$ est la série

$\mathrm{diag}(f)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}^2{t}^n=\frac{2}{\pi }K(4\sqrt{t}),$

où K est l'intégrale elliptique complète de première espèce.

Propriétés

Propriétés différentielles

Soit f une série formelle en les variables $x_1,\dots ,x_n$. Le théorème de Lipshitz affirme que si f est Modèle:Lien, alors $\mathrm{diag}(f)$ l'est aussi. En particulier, si f est une série rationnelle alors $\mathrm{diag}(f)$ satisfait une équation différentielle linéaire à coefficients polynomiaux.

Théorèmes de Fürstenberg

En 1967, Hillel Furstenberg a démontré plusieurs résultats sur le lien entre les diagonales de fractions rationnelles et les séries algébriques.

Modèle:Énoncé Soit f une fraction rationnelle en les variables $x_1,\dots ,x_n$ à coefficients dans un corps fini, développable en série entière.

Alors la diagonale de f est une fonction algébrique.

Par exemple, si on considère la diagonale de $\frac{1}{1-x_2-x_3-x_1{x}_2-x_1{x}_3}$ modulo 5, on calcule que

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}^2{t}^n\equiv \frac{1}{(1-t+t^2{)}^{1/4}}mod5.$

Ainsi, les diagonales de fractions rationnelles à coefficients rationnels ont la propriété remarquable d'être algébriques quand on les réduit modulo un nombre premier (sauf peut-être pour un nombre fini d'entre eux, si la réduction de la fraction est impossible), même si elles ne sont pas algébriques sur ℚ.