S-matrice (mathématiques)

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, une S-matrice est une matrice carrée réelle dont l'image de l'orthant positif intersecte l'intérieur de cet orthant. Ces matrices apportent des propriétés particulières aux problèmes de complémentarité linéaire.

Définitions

Les propriétés équivalentes pouvant servir de définition aux S-matrices requièrent que l'on précise quelques notations et rappelle la définition d'un problème de complémentarité linéaire.

• Pour un vecteur $x\in {ℝ}^n$, la notation $x⩾0$ signifie que toutes les composantes $x_i$ du vecteur sont positives et la notation $x>0$ signifie que toutes les composantes du vecteur sont strictement positives.
• Étant donnés une matrice réelle carrée d'ordre $M\in {ℝ}^{n\times n}$ et un vecteur $q\in {ℝ}^n$, un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur $x\in {ℝ}^n$ tel que $x⩾0$, $Mx+q⩾0$ et $x^{\mathrm{\top }}(Mx+q)=0$ (ce qui revient à dire que le produit de Hadamard de $x$ et $Mx+q$ est nul), ce que l'on écrit de manière abrégée comme suit :
  
  $\text{CL}(M,q):0⩽x\perp (Mx+q)⩾0.$
  
  

La lettre S renvoie à Stiemke.

Annexes

Article connexe

• Complémentarité linéaire

Bibliographie

• Modèle:Article.