Simulation (géostatistique)

Modèle:Voir homonymes En géostatistique, les méthodes de simulation visent à proposer une variable régionalisée reproduisant un phénomène (ou processus) désiré. On parle de Modèle:Terme défini lorsque les valeurs de la variable régionalisée en certains points sont définies.

En pratique, on veut souvent que la simulation respecte les deux premiers moments du processus, son histogramme et son variogramme.

Ces méthodes sont particulièrement employées en géostatistique non linéaire, comme souvent le seul moyen techniquement disponible pour l'estimation de grandeurs. En effet, les méthodes de modélisation géostatistique donnent la meilleure estimation de la variable régionalisée, mais lissent le résultat et donc échouent à reproduire une variabilité naturelle du phénomène.

Notations

Dans la suite, les notations suivantes seront utilisées :

• Modèle:Formule et Modèle:Formule respectivement le nombre de points de données et le nombre de points d'estimation
• Modèle:Formule l'indice allant de 1 à Modèle:Formule pour les points de données, de Modèle:Formule à Modèle:Formule pour les points d'estimation
• Modèle:Formule la position du Modèle:Formuleème point
• Modèle:Formule la valeur de la variable régionalisée au Modèle:Formuleème point
• Modèle:Formule la fonction aléatoire du phénomène.
• Modèle:Formule la covariance du phénomène simulé.

Pour un vecteur Modèle:Formule donné, on note Modèle:Formule le vecteur des Modèle:Formule premiers éléments de Modèle:Formule. Par exemple, Modèle:Formule est le vecteur des valeurs connues aux points Modèle:Formule. De même, pour une matrice Modèle:Formule, Modèle:Formule note sa sous-matrice aux Modèle:Formule premières lignes et Modèle:Formule premières colonnes.

Pré-calculs

Aplanissement

Cette étape est un préalable possible à la modélisation à l'intérieur d'une couche géologique. Plutôt que de travailler dans un repère de coordonnées Modèle:Formule, l'on passera à un repère Modèle:Formule où Modèle:Formule est la distance selon Modèle:Formule entre le point courant et une surface de référence (par exemple, la base de la couche). Ceci vise à s'approcher d'un travail en lignes de niveau qui correspondraient aux isochrones de dépôt.

Anamorphose gaussienne

L'anamorphose gaussienne consiste à appliquer une bijection à la variable pour lui donner une distribution gaussienne. En effet, plusieurs méthodes de simulation exigent ce préalable. La bijection inverse devra être appliquée sur le résultat.

Méthodes de simulations

Simulation matricielle

Cette méthode utilise la décomposition de Cholesky et se prête bien aux simulations en une dimension en voisinage globale. Soit Modèle:Formule la matrice de covariance, des éléments Modèle:Formule que l'on décompose par la méthode de Cholesky en Modèle:Formule.

Dans le cas non-conditionnel, Modèle:Formule est d'ordre Modèle:Formule. On tire Modèle:Formule valeurs aléatoirement selon une loi normale centrée réduite, Modèle:Formule. Une réalisation est alors Modèle:Formule.

Dans le cas conditionnel, Modèle:Formule est d'ordre Modèle:Formule. Le conditionnement est fixé par Modèle:Formule. On tire Modèle:Formule valeurs Modèle:Formuleselon une loi normale centrée réduite. Une réalisation est alors Modèle:Formule.

Cette technique permet de réaliser un grand nombre de simulations sans grand allongement des calculs, une seule décomposition de Cholesky est nécessaire.

Simulation gaussienne séquentielle

Cette méthode exige que la fonction aléatoire soit gaussienne ; alors, une distribution conditionnelle est également une gaussienne, dont les espérance et variance se déduisent d'un krigeage simple.

Elle s'effectue par étapes, l'ordre de visite des Modèle:Formule points d'estimation pouvant en pratique influer sur le résultat. À l'étape Modèle:Formuleun krigeage simple sur les Modèle:Formule points de données et les Modèle:Formule points déjà simulés donne une valeur krigée Modèle:Formule et un écart-type de krigeage Modèle:Formule. On tire la valeur de Modèle:Formule selon une loi normale d'espérance Modèle:Formule et de variance Modèle:Formule.

Bandes tournantes

L'idée est de transformer la simulation sur une partie de Modèle:Formule ou Modèle:Formule en composée de simulations sur des parties de Modèle:Formule. On trace dans l'espace une série de bandes (lignes) Modèle:Formule, sur chacune est calculée une réalisation Modèle:Formule du processus. La valeur en un point Modèle:Formule quelconque est une somme des valeurs aux projetés sur les bandes, affectée d'un facteur. Modèle:Retrait

Cette méthode requiert typiquement quelques centaines de bandes tournantes pour que s'effacent les artéfacts de calcul.

Post-conditionnement

Soit une méthode de simulation non-conditionnelle. On suppose la fonction gaussienne centrée (pas forcément réduite).

Résidu de rubanage

Modèle:... Le conditionnement peut s'effectuer selon l'algorithme suivant :

• tirage d'une simulation conditionnelle en tout point Modèle:Formule de données ou de simulation. On obtient respectivement Modèle:Formule et Modèle:Formule.
• krigeage (simple ou ordinaire) aux points de simulation en utilisant les valeurs observées Modèle:Formule. On obtient Modèle:Formule valeurs Modèle:Formule
• krigeage (idem) aux points de simulation en utilisant les valeurs simulées aux points de données Modèle:Formule. On obtient Modèle:Formule.
• La simulation conditionnelle est donnée par Modèle:Formule.

Convergence

Conditionnellement aux données, l'espérance d'un grand nombre de simulations tend en tout point vers l'estimation par krigeage ; de même, leur variance tend vers la variance de krigeage.