Krigeage

Exemple d'interpolation de données unidimensionnelles par krigeage. Les carrés rouges indiquent l'emplacement des données. L'interpolation par krigeage, représentée en rouge, suit les moyennes des intervalles crédibles normalement distribués représentés en gris. La courbe en pointillé montre une spline qui est lisse, mais qui s'écarte de manière significative des valeurs attendues données par ces moyennes.

Le krigeage est, en géostatistique, une famille de méthodes d’estimation linéaires garantissant le minimum de variance sous certaines hypothèses. Le krigeage réalise l'interpolation spatiale d'une variable régionalisée par calcul de l'espérance mathématique d'une variable aléatoire, utilisant l'interprétation et la modélisation du variogramme expérimental. Il tient compte non seulement de la distance entre les données et le point d'estimation, mais également des distances entre les données deux à deux.

Le terme « krigeage » provient du nom de famille de l'ingénieur minier sud-africain Danie G. Krige. Il a été formalisé pour la prospection minière par Georges Matheron (1930-2000) au BRGM puis à l'École des mines de Paris. Depuis, le domaine de ses applications a largement été étendu, touchant notamment la météorologie, les sciences de l’environnement et l’électromagnétisme.

Selon les hypothèses sous-jacentes, le krigeage se décline sous plusieurs variantes (simple, ordinaire…) qui toutes utilisent les mêmes principes.

Notations utilisées

• Modèle:Mvar une quantité (définie de manière quelconque) à estimer en un point ;
• Modèle:Mvar la variable régionalisée étudiée ;
• Modèle:Mvar la fonction aléatoire associée à Modèle:Mvar ;
• Modèle:Mvar, Modèle:Mvar sa covariance et son espérance ;
• Modèle:Mvar le nombre de points de mesure ;
• Modèle:Math le point d'estimation ;
• Modèle:Math les points de mesure ;
• Modèle:Math l'opérateur d'estimation par krigeage; ainsi Modèle:Math est l'estimateur de krigeage de Modèle:Mvar ;
• Modèle:Math la valeur estimée en Modèle:Math par le krigeage considéré ;
• Modèle:Math les données, connues aux points de mesure Modèle:Mvar ;
• Modèle:Mvar le poids affecté par le krigeage à la valeur en Modèle:Mvar ;
• Modèle:Math le paramètre de Lagrange utilisé dans le krigeage ;
• Modèle:Math la valeur du variogramme Modèle:Mvar pour une distance Modèle:Math ;
• Modèle:Math la valeur de la covariance Modèle:Mvar pour une distance Modèle:Math ;
• Modèle:Math les fonctions de base dans le cas du krigeage universel, Modèle:Math ;
• Modèle:Mvar la valeur de Modèle:Mvar au point Modèle:Mvar ;

Principe d'un krigeage

Un krigeage habituel fait se succéder plusieurs actions :

• recueil et prétraitement de la donnée : il s'agit de nettoyer la variable régionalisée Modèle:Mvar de ses valeurs aberrantes, valeurs mal codées… Il peut être utile de transformer la donnée (par bijection) en un paramètre qui sera estimé à sa place, avant transformation réciproque.
• décision de l'estimation attendue : généralement, il est cherché une estimation en chaque point d'une grille, parfois en chaque volume élémentaire.
• choix d'un modèle : un modèle de fonction aléatoire Modèle:Mvar associée à Modèle:Mvar est proposé, selon les hypothèses faites sur sa stationnarité, sa valeur moyenne, les éventuels paramètres auxiliaires.
• calage d'un variogramme : sur la considération du variogramme expérimental, un modèle de variogramme Modèle:Mvar est choisi, respectant les conditions découlant du choix du modèle.
• krigeage proprement dit : le type de krigeage dépend du choix du modèle, et du type de résultat attendu. Il varie selon le choix du voisinage.
• post-traitement : une éventuelle transformation réciproque est appliquée ; le résultat est commenté.

Le calcul fournit également une variance de krigeage Modèle:Math, qui dépend du variogramme et de la position des points de données, mais pas des valeurs de celles-ci.

Contraintes d'un krigeage

Le fait que le krigeage est l'estimateur linéaire de variance minimale se traduit par quatre contraintes successives, qui permettent d'écrire le système de krigeage pour toutes les variantes de la méthode. La suite détaille les quatre étapes de construction d'un estimateur Modèle:Math pour une quantité à estimer Modèle:Mvar.

Linéarité

Dans un souci de réalisme, on pose que la quantité à estimer est une fonctionnelle linéaire de la fonction aléatoire étudiée (dans le cas général: $Q=\int Z\left(x\right)p\left(\mathrm{d}x\right)$); le cas plus large (problèmes de coupure et de sélection…) relève de la géostatistique non linéaire.

L'estimateur est posé comme combinaison linéaire des données, de poids inconnus pour l'instant : $Q^{*}=\sum _i{\lambda }_i{Z}_i$

Autorisation

L'erreur d'estimation doit être une combinaison linéaire autorisée, c'est-à-dire que son espérance et sa variance doivent être définies.

La condition d'autorisation s'écrit différemment selon le modèle sous-jacent supposé (on supposera toujours le support borné).

• Dans le modèle stationnaire d'ordre 2, toutes les combinaisons linéaires sont autorisées, et il n'y a pas de contrainte.
• Par contre, dans le modèle intrinsèque, une combinaison linéaire est autorisée si et seulement si son poids total est nul :$\sum _i{\lambda }_i=0$

Universalité

On exige de l'estimateur qu'il ne présente pas de biais statistique par rapport à la quantité à estimer. Cette contrainte peut être nommée contrainte de non-biais ou d'espérance nulle :$𝐄[Q^{*}-Q]=0$

Optimalité

On demande à l'erreur d'estimation d'être de variance minimale, sous les contraintes précédentes. Sauf cas particuliers, il y existe une solution unique ${\left\{{\lambda }_i\right\}}_{i=1..n}$ à ce problème d'estimation.

Le résultat de ces quatre contraintes est, dans le cas général, un système de Cramer, qui admet une solution et une seule.

On peut étendre cette démarche dans le cas continu en considérant non des pondérations Modèle:Mvar mais des mesures Modèle:Formule.

Krigeages ponctuels

Krigeage stationnaire à moyenne connue (krigeage simple)

Soit Modèle:Mvar une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2. Son espérance Modèle:Mvar et sa matrice de covariance $K=(K_{i,j}{)}_{1\le i,j\le n}$ pour les sites d'échantillonnage $(x_1,\dots ,x_n)$ sont supposées connues. On suppose sans perte Modèle:Math. On cherche le krigeage de Modèle:Mvar en un point Modèle:Math.

Hypothèses d'écriture du krigeage simple

1. Par linéarité, le problème devient la recherche des poids Modèle:Formule, dépendants du point d'estimation, tels que $Z_0^{*}=\sum _i{\lambda }_i{Z}_i$;
2. L'autorisation est assurée dans le cas stationnaire;
3. L'universalité est assurée par hypothèse : $𝐄\left[Z_0\right]=E\left[Z_i\right]=0$;
4. L'optimalité suppose : $\mathrm{\forall }i,\sum _j{\lambda }_j{K}_{i,j}=K_{i,0}$

Le système de krigeage simple s'écrit matriciellement :

$𝐊\mathit{\lambda }={𝐊}_0$

où :

• Modèle:Math est la matrice de covariance aux sites d'échantillonnage :

$𝐊=\left(\begin{array}{ccc}{K}_{1,1}& \cdots & K_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ K_{n,1}& \cdots & K_{n,n}\end{array}\right)=(\mathrm{cov}(Z(x_i),Z(x_j)){)}_{1\le i,j\le n}$

• Modèle:Math est la matrice des poids de krigeage :

$\mathit{\lambda }=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right)$

• Modèle:Math est la matrice de covariance du point krigé avec les sites d'échantillonnage

${𝐊}_0=\left(\begin{array}{c}{K}_{1,0}\\ ⋮\\ K_{n,0}\end{array}\right)=(\mathrm{cov}(Z(x_i),Z(x_0)){)}_{1\le i\le n}$

La matrice de covariance étant symétrique définie positive, elle est inversible et on résout le système de krigeage en l'inversant :

$\mathit{\lambda }={𝐊}^{-1}{𝐊}_0$

Le résultat de l'interpolation au point Modèle:Math est :

${Z_0}^{*}=\sum _i{\lambda }_i{Z}_i$

Dans le cas général, l'espérance Modèle:Mvar de Modèle:Mvar n'est pas toujours nulle. On calcule alors les poids Modèle:Mvar du krigeage de la variable Modèle:Mvar au point Modèle:Math, dont l'espérance est nulle. On obtient le krigeage simple de Modèle:Mvar en Modèle:Math : Modèle:Retrait

La variance d'estimation du krigeage simple est : Modèle:Retrait

Le krigeage simple ne peut s'écrire directement en termes de variogramme, puisque la somme des poids n'est pas égale à 1. Le krigeage simple exige que la covariance soit définie, c'est-à-dire que le variogramme présente un palier.

Si la fonction aléatoire Modèle:Mvar est gaussienne, le résultat de krigeage Modèle:Formule est l'espérance conditionnelle, et l'estimation et l'erreur sont gaussiennes : Modèle:Retrait Modèle:Retrait

Krigeage stationnaire à moyenne inconnue (krigeage ordinaire, 1)

L'espérance Modèle:Mvar est supposée inconnue (mais définie).

Hypothèses d'écriture du krigeage ordinaire

1. La linéarité donne $Z_0^{*}=\sum _i{\lambda }_i{Z}_i$;
2. L'autorisation est assurée dans le cas stationnaire;
3. L'universalité ne permet pas de supposer Modèle:Math, et donne $\sum _i{\lambda }_i=1$;
4. L'optimalité est réalisée par la méthode du multiplicateur de Lagrange. Soit Modèle:Mvar ce paramètre, on obtient le système de krigeage ci-après

Le système de krigeage ordinaire s'écrit matriciellement : Modèle:Retrait

La variance d'estimation en krigeage ordinaire est Modèle:Retrait

On peut utiliser la même démarche pour évaluer l'espérance inconnue. Soit son estimateur Modèle:Formule.

Hypothèses d'écriture du krigeage de l'espérance

1. La linéarité donne $M^{*}=\sum _i{\lambda }_i{Z}_i$
2. L'autorisation est assurée
3. L'universalité impose $m(\sum _i{\lambda }_i-1)=0\mathrm{\forall }m$, donc $\sum _i{\lambda }_i=1$
4. L'optimalité se résout par multiplicateur de Lagrange (noté Modèle:Math) en le système ci-après.

La variance de l'évaluation de la moyenne est donc : Modèle:Retrait

Krigeage strictement intrinsèque (krigeage ordinaire, 2)

Soit Modèle:Mvar strictement intrinsèque sans dérive.

Hypothèses d'écriture du krigeage ordinaire

1. La linéarité donne $Z_0^{*}=\sum _i{\lambda }_i{Z}_i$;
2. L'autorisation, dans le modèle intrinsèque, donne $\sum _i{\lambda }_i=1$
3. L'universalité est respectée, car une combinaison linéaire autorisée dans le modèle intrinsèque sans dérive est d'espérance nulle
4. L'optimalité nécessite $𝐕𝐚𝐫[\sum _i{\lambda }_i{Z}_i-Z_0]=-\sum _{i,j}{\lambda }_i{\gamma }_{i,j}{\lambda }_j+2\sum _i{\lambda }_i{\gamma }_{i,j}$

Ce cas est identique au précédent, écrit en variogramme : Modèle:Retrait

La variance d'estimation en krigeage ordinaire est encore Modèle:Retrait (le plus généralement Modèle:Formule).

Lien entre krigeages simple et ordinaire

Le krigeage ordinaire ponctuel se décompose en deux étapes : estimation de la moyenne du processus par krigeage ordinaire, puis krigeage simple en tenant compte de cette moyenne. Posant respectivement Modèle:Formule, Modèle:Formule et Modèle:Formule les poids, multiplicateurs de Lagrange et variance de krigeage ordinaire pour l'estimation de la moyenne, Modèle:Formule et Modèle:Formule les poids et multiplicateur de Lagrange pour le krigeage ordinaire, Modèle:Formule les poids de krigeage simple, et Modèle:Formule le poids de la moyenne en krigeage simple, on a : Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait

La variance de krigeage simple est inférieure à celle du krigeage ordinaire associé. Si les données sont nombreuses et bien structurées, les deux krigeages sont proches. Sinon, le krigeage simple attribue un poids important à la moyenne globale connue, et le krigeage ordinaire attribue le même poids à une estimation locale de la moyenne, ainsi ce dernier est plus robuste quant aux défauts de stationnarité. D'une manière générale, le krigeage ordinaire est à préférer au krigeage simple, sauf cas particuliers (krigeage d'indicatrices, simulations).

Krigeage universel

Le modèle supposé est Modèle:Formule, comportant une dérive Modèle:Formule déterministe et un résidu Modèle:Formule voulu stationnaire (résidu vrai), et d'espérance nulle. La difficulté est de séparer les deux composantes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar dans la variable régionalisée Modèle:Mvar. Cette dichotomie peut représenter une opposition explicative entre basses et hautes fréquences, entre tendance régionale et anomalies.

La dérive est supposée décomposable selon un nombre connu de fonctions de base $m(x)=\sum _l{a}_l{f}_l(x)$, généralement des monômes des coordonnées, avec Modèle:Formule la fonction constante unité. Les coefficients Modèle:Formule sont inconnus. Le modèle de dérive calculé par les algorithmes ci-après ne décrit pas forcément la tendance du phénomène, mais une approximation à l'échelle de travail.

Les hypothèses sur le résidu Modèle:Formule sont appelés sous-jacents sur Modèle:Mvar.

Krigeage universel à modèle sous-jacent stationnaire d'ordre 2

Ce modèle est interprétable comme ayant une force de rappel autour de la dérive. La covariance est posée $K_{a,b}=𝐂𝐨𝐯[Z(a),Z(b)]=𝐂𝐨𝐯[Y(a),Y(b)]$.

On notera Modèle:Formule la valeur de Modèle:Formule au point Modèle:Formule, pour Modèle:Formule.

Hypothèses d'écriture du krigeage universel sur FASt-2

1. La linéarité donne $Z_0^{*}=\sum _i{Z}_i$
2. L'autorisation est assurée
3. L'universalité impose $a_l(\sum _i{\lambda }_i{f}_{li}-f_{l0})$ avec Modèle:Formule inconnus, d'où $\sum _i{\lambda }_i{f}_{li}-f_{l0}=0,\mathrm{\forall }l$
4. L'optimalité introduit les multiplicateurs de Lagrange Modèle:Formule; les conditions d'optimalité s'écrivent : $\sum _j{\lambda }_j{K}_{i,j}+{\mu }_l{f}_{li}=K_{i,0},\mathrm{\forall }i$

Sous forme matricielle, le krigeage universel s'écrit : Modèle:Retrait

La variance d'estimation est: Modèle:Retrait

Krigeage universel à modèle sous-jacent intrinsèque strict

On suppose Modèle:Formule intrinsèque stricte sans dérive (la dérive étant intégrée à Modèle:Mvar).

Hypothèses d'écriture du krigeage universel sur fonction aléatoire intrinsèque stricte

1. La linéarité pose $Z_0^{*}=\sum _i{\lambda }_i{Z}_i$
2. L'autorisation impose $\sum _i{\lambda }_i=1$
3. L'universalité impose $\sum _i{\lambda }_i{f}_{li}-f_{l0}=0,\mathrm{\forall }l\ne 0$
4. L'optimalité introduit un multiplicateur de Lagrange Modèle:Formule pour la contrainte d'autorisation, et d'autres Modèle:Formule pour les contraintes d'universalité.

Le système de krigeage s'écrit : Modèle:Retrait

Soit matriciellement : Modèle:Retrait

La variance d'estimation est : Modèle:Retrait

Le résultat est identique au cas précédent, cependant la situation physique n'est pas la même : ici, le phénomène peut admettre un variogramme sans palier, c'est-à-dire sans force de rappel.

Évaluation de la dérive

Les calculs précédents ont supposé une dérive Modèle:Mvar déterministe, connue et régulière.

En modèle sous-jacent stationnaire, on pose un estimateur linéaire de la dérive $M^{*}(x)=\sum _i{\lambda }_i{Z}_i$. Les Modèle:Mvar sont solutions du système : Modèle:Retrait

Et la variance d'estimation en est : Modèle:Retrait

En modèle sous-jacent intrinsèque strict, les contraintes d'autorisation et d'universalité sont incompatibles ; l'estimation optimale de la dérive est impossible. Modèle:Démonstration

Krigeage intrinsèque (FAI-Modèle:Mvar)

On suppose ici que Modèle:Mvar est une [[fonction aléatoire intrinsèque|FAI-Modèle:Mvar]], Modèle:Mvar étant une valeur donnée.

Hypothèses d'écriture du krigeage sur FAI-Modèle:Mvar

1. La linéarité pose $Z^{*}=\sum _i{\lambda }_i{Z}_i$
2. L'autorisation à l'ordre Modèle:Mvar demande $\mathrm{\forall }l\in [[0;k]],\sum _i{f}_{l_i}{f}_{l_0}=0$. En utilisant la mesure de Dirac Modèle:Formule, on peut écrire : $Z^{*}\left(x\right)-Z\left(x\right)=\tilde{Z}(\sum _i{\lambda }_i{\delta }_i-{\delta }_x)$
3. L'universalité est assurée puisque toutes les combinaisons linéaires autorisées sont d'espérance nulle.
4. L'optimalité demande à minimiser conditionnellement : ${\sigma }^2=\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[\sum _i{\lambda }_i{Z}_i-Z_0]=\sum _{i,j}{\lambda }_i{K}_{ij}{\lambda }_j-2\sum _i{\lambda }_i{K}_{i0}+K_{00}$. Soit les conditions d'optimalité $\mathrm{\forall }i,\sum _j{\lambda }_j{K}_{ij}+\sum _l{\mu }_l{f}_{l_i}=K_{i0}$.

Le système de krigeage intrinsèque s'écrit : Modèle:Retrait

La variance d'estimation en krigeage intrinsèque est : Modèle:Retrait

On dispose des propriétés suivantes :

• superposition des figures de krigeage : soit un opérateur linéaire Modèle:Formule, alors Modèle:Formule. On peut écrire ${\mathrm{\Phi }}^{*}\left(Z\right)=\sum _j{\lambda }_{\mathrm{\Phi }j}{Z}_j$ avec ${\lambda }_{\mathrm{\Phi }j}=\int {\lambda }_j(x)\mathrm{\Phi }(\mathrm{d}x)$
• orthogonalité : soit Modèle:Mvar une combinaison linéaire autorisée ($\sum _i{\nu }_i{f}_{l_i}=0$), soit Modèle:Math une forme linéaire, alors $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}[\mathrm{\Phi }(Z)-{\mathrm{\Phi }}^{*}(Z)\sum _i{\nu }_i{Z}_i]=0$
• lissage : la variance de Modèle:Formule n'est pas définie. Soit Modèle:Formule une forme linéaire telle que $\int f_l(t)\mathrm{\Phi }(\mathrm{d}t)=0$, alors la variance de l'estimateur est inférieure à celle de la forme linéaire ($\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[{\mathrm{\Phi }}^{*}(Z)]\le \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[\mathrm{\Phi }(Z)]$) ; de plus elle n'est pas stationnaire (pas invariante pour une translation de Modèle:Formule).

Dualité du krigeage

Supposons le système de krigeage intrinsèque régulier. Le système dual est défini par: Modèle:Retrait

Sa résolution selon Modèle:Mvar et Modèle:Mvar fournit une approche non-probabiliste du krigeage, à travers l'égalité suivante, où les coefficients sont indépendants du lieu d'évaluation Modèle:Math: Modèle:Retrait

Le krigeage peut donc se caractériser comme l'interpolateur Modèle:Math :

• linéaire : $\mathrm{\exists }{b}_i,c_l,\mathrm{\forall }x,z^{*}\left(x\right)=b_i{K}_{i,x}+c_l{f}_{l_x}$
• exact : $z^{*}\left(x_j\right)=z_j$
• défini-compatible avec les dérives : si les données Modèle:Formule valent Modèle:Formule, alors $z^{*}\left(x\right)=f_s\left(x\right)$

Un théorème établi par Georges Matheron montre l'équivalence entre spline et krigeage, même si la conversion n'est en pratique pas aisée.

Propriétés du krigeage

• C'est un interpolateur exact : si le point d'estimation est un point de donnée, le krigeage renvoie la donnée en ce point ; par contre, si le variogramme comporte un effet pépite, la continuité n'est pas garantie au voisinage des points de données, et l'estimation donne l'impression de ne pas passer par la donnée.
• C'est une opération linéaire : le krigeage d'une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des krigeages, à condition d'utiliser le même jeu de données (théorème de superposition des figures de krigeage).
  • Le krigeage sur deux domaines disjoints est la somme des krigeages sur ces domaines.
  • La moyenne estimée sur un domaine est la moyenne des krigeages ponctuels sur ce domaine.
  • Le krigeage d'une convoluée est la convoluée des krigeages ponctuels ${[\int p(\mathrm{d}x)Z(X)]}^{*}=\int p(\mathrm{d}x)Z^{*}(x)$.
  • le krigeage d'une dérivée est la dérivée du krigeage.
• effet d'écran : les points les plus près reçoivent les poids les plus importants (cas d'un variogramme croissant).
• lissage : les estimations sont moins variables que les données.

Modèle:Démonstration/début Démonstration pour un krigeage simple: Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait La variance de la valeur estimée est inférieure à la variance a priori, et strictement hors des points de données. Incidemment, l'estimateur de krigeage simple n'est pas stationnaire d'ordre 2, puisque sa variance dépend de Modèle:Mvar. Modèle:Démonstration/fin

• transitivité : on peut ajouter, comme donnée, une estimation ponctuelle par krigeage sans changer le résultat pour les autres points d'estimations. Par contre, les variances de krigeage sont diminuées.
• presque sans biais conditionnel : si l'on applique une coupure aux estimations, le résultat est proche des valeurs prévues
• Indépendance linéaire des fonctions de base sur les données : une condition nécessaire de régularité du système de krigeage universel est que les Modèle:Formule n'admettent pas de combinaison linéaire nulle non triviale ($(\mathrm{\forall }i,\sum _l{c}_l{f}_{li}=0)\Rightarrow (\mathrm{\forall }l,c_l=0)$).
• Les pondérateurs sont invariants par multiplication de la fonction structurale : si l'on multiplie la covariance ou le variogramme par Modèle:Mvar, les Modèle:Mvar restent constants (mais les Modèle:Mvar en krigeage universel sont divisés par Modèle:Mvar). La variance de krigeage est multipliée par Modèle:Mvar.
• Orthogonalité: rappelons que deux variables aléatoires sont dites orthogonales si leur covariance est nulle
  • L'erreur de krigeage simple ponctuel est orthogonale à toute combinaison linéaire des données.
  • L'erreur de krigeage ordinaire ponctuel est orthogonale à toute combinaison linéaire des données de poids total nul.
  • L'erreur de krigeage universel ponctuel est orthogonale à toute combinaison linéaire des données $\sum _i{\varphi }_i{f}_{li}$ qui filtre la famille des fonctions de base, c'est-à-dire telle que $\mathrm{\forall }l,\sum _i{\varphi }_i{f}_{li}=0$.

Modèle:Démonstration/début Pour un krigeage universel: Modèle:Retrait Modèle:Retrait Or : $\sum _j{\lambda }_j{K}_{i,j}-K_{i0}=𝐂𝐨𝐯[\sum _j{\lambda }_j{Z}_j-Z_0,Z_i]$
Donc : $𝐂𝐨𝐯[\sum _j{\lambda }_j{Z}_j-Z_0,\sum _i{\varphi }_i{Z}_i]=\sum _l-{\mu }_l{\varphi }_i{f}_{li}$ Modèle:Démonstration/fin

Autres utilisations du krigeage

Filtrage de composantes

Supposons une variable aléatoire Modèle:Formule avec Modèle:Mvar sa moyenne et Modèle:Formule des variables aléatoires intrinsèques indépendantes deux à deux, de moyenne nulle et de variogrammes respectifs Modèle:Formule. On peut poser un estimateur d'une composante Modèle:Formule sous la forme :

${Y_k}^{*}=\sum _i{\lambda }_i{Z}_i$
où les Modèle:Formule sont solutions de :

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{cccccc}-& \sum _j{\lambda }_j{\gamma }_{i,j}& +\mu & =-& {\gamma }_{k;i,0}& \mathrm{\forall }i\\ & \sum _j{\lambda }_j& & =& 0\end{array}\end{array}$

Krigeage factoriel

Soit un jeu de variables Modèle:Formule, dont les variogrammes sont supposées combinaisons linéaires de structures Modèle:Formule. Étudions une structure numéroté Modèle:Formule. Posons un jeu de variables Modèle:Formule, orthogonales (moyenne nulle et variance unitaire), indépendantes deux à deux et de même variogramme. Posons : Modèle:Retrait Cette décomposition n'est néanmoins pas unique ; le sens physique des Modèle:Formule n'est pas garanti.

On a rapidement les variogrammes croisés : Modèle:Retrait On obtient des matrices Modèle:Formule symétriques et définies positives. Par renumérotation selon Modèle:Formule, les Modèle:Formule sont ordonnés de manière décroissante selon leur valeur propre Modèle:Pas clair.

Le krigeage factoriel consiste à tenir compte des structures les plus explicatives (dont la valeur propre est significative), soit les Modèle:Formule premières composantes (Modèle:Formule) : Modèle:Retrait

Krigeage de bloc

Ce krigeage n'est pas ponctuel : il vise à estimer la variable Modèle:Mvar sur un volume ou support Modèle:Formule. Dans le cas d'une [[FAI-k|FAI-Modèle:Mvar]], cela revient à remplacer :

• la covariance Modèle:Formule par

• les fonctions de base Modèle:Formule par

• la variance Modèle:Formule par

Le système de krigeage de bloc s'écrit : Modèle:Retrait La variance d'estimation en krigeage de bloc estModèle:Retrait

Les calculs d'intégrales nécessitent des algorithmes de discrétisation. Une variante est le krigeage de polygone ou de polyformes.

Estimation de gradient

Le but est d'estimer Modèle:Formule dans une direction Modèle:Formule (vecteur unitaire). On posera la définition : Modèle:Retrait

Si la covariance Modèle:Formule est stationnaire et isotrope, Modèle:Mvar est différentiable ssi Modèle:Mvar est deux fois différentiable en 0 ; alors la covariance de Modèle:Formule est Modèle:Formule, qui est définie en tout point. Alors Modèle:Formule. Dans des cas courants, la condition n'est pas forcément remplie et Modèle:Formule n'est pas défini ; on étend alors la relation précédente.

Si Modèle:Mvar a un effet pépite, c'est la dérivée de la partie continue du phénomène qui est estimée.

Le système de krigeage de gradient s'écrit : Modèle:Retrait La variance d'estimation en krigeage de gradient est Modèle:...

Krigeage avec inégalités

En théorie, le krigeage ne permet pas de traiter des contraintes d'inégalité. Néanmoins, des algorithmes à base d'échantillonnage de Gibbs ont été développés pour fournir une solution approchée dans le cas d'une variable gaussienne.

Cokrigeage

Modèle:Article détaillé Soit le cas multivariable d'une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2 d'espérance nulle, sur Modèle:Formule. Le cas se ramène aisément au cas simple ; de cela découlent les propriétés générales, comme l'interpolation exacte, la superposition des figures de krigeage…

Le résultat d'un cokrigeage multivariable donne un rôle symétrique aux différentes composantes, tant sur leur hiérarchie que sur leur échantillonnage. Par rapport au cas monovariable, le cokrigeage multivariable exige plus de doigté, de données et de contrôles avant et après l'évaluation.

Variables séparées

Si les composantes de Modèle:Mvar sont indépendantes, la matrice de cokrigeage devient diagonale de composantes Modèle:Formule, Modèle:Formule. Cette séparation des variables conduit à des krigeages simples sur chacune des composantes.

Cokrigeage universel

Dans le cas général, on pose la Modèle:Abréviation multivariable Modèle:Mvar comme somme d'une Modèle:Abréviation multivariable d'espérance nulle Modèle:Formule et d'une dérive Modèle:Mvar déterministe décomposée selon une base de fonctions Modèle:Formule:

$Z(x,i)=Y(x,i)+\sum _l{a}_l{f}_l(x,i)$

Les fonctions de base peuvent être choisies de manière à refléter des liaisons entre les dérives. Par exemple, dans le cas Modèle:Formule, bivariable sur un espace à une dimension, on peut supposer :

• Les dérives Modèle:Formule et Modèle:Formule algébriquement indépendantes de degrés respectifs Modèle:Formule et Modèle:Formule. On posera les Modèle:Formule fonctions de base, écrites comme couples de fonctions monovariables : Modèle:Formule.
• Les dérives sont égales et de degré Modèle:Mvar. On posera la famille de Modèle:Math fonctions de base Modèle:Math.
• La dérive Modèle:Formule est la dérivée de Modèle:Formule, celle-ci étant de degré Modèle:Mvar. On posera la famille de Modèle:Math fonctions de base Modèle:Formule.

Régularité du système

Les conditions de régularité du système sont similaires à celles du krigeage monovariable:

• la matrice de covariance est positive conditionnelle stricte sur les données, et
• les fonctions de base sont linéairement indépendantes sur les données.

Cependant, la conditionnalité n'est pas une condition d'autorisation comme dans le cas monovariable, mais de filtrage, et signifie que toute mesure Modèle:Mvar satisfaisant aux contraintes $\mathrm{\forall }l\in \{1,\cdots ,k\},\sum _j\underset{S_j}{\int }{\nu }_j\left(\mathrm{d}y\right)f_l(y,j)=0$, on a :

$\sum _{i,j}\underset{S_i}{\int }\underset{S_j}{\int }{\nu }_i\left(\mathrm{d}x\right)K_{i,j}(x,y){\nu }_j\left(\mathrm{d}y\right)=0\Rightarrow \nu =0$

Coestimation optimale des coefficients de la dérive

Les coefficients Modèle:Formule de la dérive peuvent s'estimer par :

$A_l^{*}=\sum _{j\in D}\underset{S_j}{\int }{\lambda }_j\left(\mathrm{d}y\right)Z(y,j)$, où ${\lambda }_l\left(\mathrm{d}y\right)$ est solution d'un système de krigeage.

Forme duale

On adopte une notation par des mesures :

$z^{*}(x_0,i_0)=\sum _{j\in D}\underset{S_j}{\int }{\psi }_j\left(\mathrm{d}y\right)K_{j,i_0}(y,x_0)+\sum _s{a^{*}}_s{f}_s(x_0,i_0),\mathrm{\forall }(x_0,i_0)\in S$

Les mesures Modèle:Mvar et les coefficients Modèle:Math sont solutions du système dual :

$\begin{array}{cc}& \mathrm{\forall }(x,i)\in S,l\in [[1;k]]\\ & \{\begin{array}{cc}\sum _{j\in D}\underset{S_j}{\int }{\psi }_j\left(\mathrm{d}y\right)K_{i,j}(x,y)+\sum _s{a^{*}}_s{f}_s(x,i)& =z(x,i)\\ \sum _{j\in D}\underset{S_j}{\int }{\psi }_j\left(\mathrm{d}y\right)f_l(y,j)& =0\end{array}\end{array}$

Krigeage avec dérive

Le krigeage avec dérive part d'une situation où on suppose que la connaissance de la variable régionalisée étudiée Modèle:Mvar, qu'on supposera ici FASt-2, peut être améliorée par celle d'une autre variable régionalisée bien mieux échantillonnée (par exemple, la pluviométrie et le relief); cette seconde variable est nommée fonction de forme Modèle:Mvar ; elle doit être connue (ou estimée) aux points de données de Modèle:Mvar et aux points d'estimation. On posera entre l'espérance de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, par exemple polynomiale (et souvent affine, avec Modèle:Math):

$𝐄\left[Z\left(x\right)\right]=\sum _{l=0}^k{a}_l{s}^l\left(x\right)$

Le krigeage s'effectue de manière similaire au krigeage universel.

Bibliographie

• Modèle:PlumeModèle:Ouvrage
• Cressie N. 1993. Statistics for Spatial Data. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics. John Wiley & Sons Inc., New York. Revised reprint of the 1991 edition, A Wiley-Interscience Publication.
• Baillargeon S. 2005. Le krigeage : revue de la théorie et application à l’interpolation spatiale de données de précipitations. Mémoire de fin d’études. Université Laval, Québec.