Sommation de Hölder

En mathématiques, la sommation de Hölder est une méthode de sommation de série divergente introduite par Otto Hölder en 1882.

Définition

Pour une série réelle ou complexe

$a_1+a_2+\cdots ,$

définissons

$H_n^0=a_1+a_2+\cdots +a_n$

$H_n^{k+1}=\frac{H_1^k+\cdots +H_n^k}{n}$.

Si la limite

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{H}_n^k$

existe et est finie pour un certain Modèle:Mvar, cette antilimite est appelée la somme de Hölder de la série, et la série est dit convergente au sens de Hölder.

En particulier, comme la somme de Cesàro d'une série convergente existe toujours, la somme de Hölder d'une série peut s'écrire sous la forme suivante Modèle:Douteux:

$\underset{\begin{array}{c}n\to \mathrm{\infty }\\ k\to \mathrm{\infty }\end{array}}{\lim }{H}_n^k$

Exemples

• Pour Modèle:Math, on retrouve la sommation de Cesàro.

• La série alternée des entiers

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}n$

admet pour somme de Hölder Modèle:Sfrac, la méthode convergeant pour Modèle:Math :

$H_n^2=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}\sum _{j=1}^k(\sum _{i=1}^j(-1{)}^{i-1}i)\right)⟶\frac{1}{4}$

Lien avec la sommation (C, k)

Modèle:Article détaillé La sommation de Hölder à l'étape Modèle:Mvar équivaut à la (C, Modèle:Mvar)-sommation, avec les mêmes sommes .

Articles connexes

• Sommation de Cesàro
• Série divergente

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:EncycloMath