Sommation de Mittag-Leffler

En mathématiques, la sommation de Mittag-Leffler est une variante de la sommation de Borel pour sommer certaines séries entières divergentes, qui fut introduite par Gösta Mittag-Leffler.

Définition

Soit

$y(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{y}_k{z}^k$

une série formelle de la variable Modèle:Math.

On définit la transformée ${ℬ}_{\alpha }$ de Modèle:Math par :

${ℬ}_{\alpha }y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{y_k}{\mathrm{\Gamma }(1+\alpha k)}{t}^k.$

La somme de Mittag-Leffler de y est donnée, si chaque somme converge et que la limite existe, par :

$\underset{\alpha \to 0}{\lim }{ℬ}_{\alpha }y(z).$

Une méthode de sommation étroitement liée, aussi appelé sommation de Mittag-Leffler, est donnée comme suit : supposons que, au voisinage de 0, la transformée de Borel converge vers une fonction analytique qui peut être analytiquement prolongée le long de l'axe réel positif en une fonction à croissance suffisamment lente afin que l'intégrale suivante soit bien définie (il s'agit d'une intégrale impropre). La somme de Mittag-Leffler de Modèle:Math est donnée par

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t}{ℬ}_{\alpha }y(t^{\alpha }z)\mathrm{d}t.$

Lorsque Modèle:Math, on retrouve la sommation de Borel.

Voir aussi

Fonction de Mittag-Leffler