Sorcière d'Agnesi
Modèle:Voir homonymes En mathématiques, la courbe d'Agnesi est une courbe particulièrement étudiée par Maria Gaetana Agnesi (1718 - 1799).
On appelle souvent cette courbe la « sorcière d'Agnesi », à la suite d'une erreur de traduction depuis l'italien.
La courbe
Définition
Elle est définie comme suit :
- sur un cercle fixe, on choisit un point O ; le point M est diamétralement opposé à O ;
- à partir de tout autre point A du cercle, on trace la sécante [OA) ;
- l'intersection de la droite (OA) et de la tangente au cercle en M se fait au point N ;
- la droite parallèle à (OM) passant par N, et la droite perpendiculaire à (OM) passant par A, se rencontrent en P ;
- la courbe est le lieu des points P pour tous les points A du cercle.
La courbe est asymptotique à la tangente au cercle fixe passant par le point O.
Équations
On suppose O à l'origine, et M sur l'axe des ordonnées positives. On suppose que le diamètre du cercle est a.
L'équation cartésienne de la courbe est alors : .
Si Modèle:Math, Modèle:Math.
Paramétriquement, si Modèle:Math est l'angle (OM, OA), mesuré dans le sens anti-trigonométrique, alors la courbe est définie par les équations :
Propriétés
- La surface comprise entre la courbe et son asymptote est quatre fois celle du cercle fixe, soit Modèle:Math.
- Le volume délimité par la surface de révolution autour de l'asymptote est de Modèle:Math.
- Le centroïde de la courbe se trouve aux coordonnées Modèle:Math, soit au centre du cercle.
Histoire
Cette courbe a été étudiée par Pierre de Fermat, par Guido Grandi en 1703 (il lui donne le nom de versiera[1] dans Quadratura circuli et hyperbolae, Pise, 1703) et par Maria Gaetana Agnesi en 1748 dans Instituzioni analitiche[2].
En italien, on l'appelle la versiera di Agnesi. Elle a pris son nom de « sorcière » à la suite d'une erreur de John Colson, professeur lucasien à Cambridge, traducteur d'Agnesi, qui confond la versiera avec l'avversiera (la sorcière)[3]. On ne sait pas si Colson, mort depuis quarante ans au moment de la publication, aurait corrigé cette erreur.
À l'occasion du Modèle:296e de la naissance de Maria Gaetana Agnesi, Google [1] lui dédie un doodle avec une animation de la construction de la courbe.
Notes et références
Liens externes
- Modèle:En Engines of Our Ingenuity. Episode No. 217: The Witch of Agnesi par John H. Lienhard
- ↑ du latin versoria, cordage qui sert à porter la voile d'un bord à l'autre.
- ↑ Modèle:It Maria Gaetana Agnesi, Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, Tome I, Modèle:P., probleme III, §238 (numérisation e-rara.ch)
- ↑ Modèle:Article