Spirale de Poinsot

Type borné ρ cosh(θ/3)=1.

Type asymptotique ρ sinh(θ/3)=1..

Logarithmique ρ = 1,19Modèle:Exp

Les spirales de Poinsot regroupent plusieurs spirales dont l'équation polaire s'exprime à l'aide d'inverses de fonctions hyperboliques. Le nom de ces spirales fait référence au mathématicien Louis Poinsot qui a rencontré l'une d'entre elles comme cas particulier d'herpolhodie, en 1851 .

Selon les auteurs, cette famille de spirales est plus ou moins large. CertainsModèle:Sfn considèrent comme étant une spirale de Poinsot toute spirale dont l'équation polaire s'écrit:

$\rho =\frac{A}{a\cosh (k\theta )+b\sinh (k\theta )}$ avec a² + b² non nul

Cette famille regroupe trois sous-familles:

• celle pour lesquelles |a | > |b|, courbes bornées toutes semblables dont des représentants sont les courbes d'équation polaire $\rho =\frac{C}{\cosh (k\theta )}$
• celle pour lesquelles |a| < |b|, courbes possédant une asymptote dont les représentants sont les courbes d'équation polaire $\rho =\frac{C}{\sinh (k\theta )}$
• celle pour lesquelles |a| = |b|, qui regroupe toutes les spirales logarithmiques.

D'autres auteursModèle:Sfnexcluent de cette famille les spirales logarithmes ne conservant que les spirales de type borné $\rho =\frac{C}{\cosh (k\theta )}$ ou asymptotique $\rho =\frac{C}{\sinh (k\theta )}$.

D'autres enfinModèle:Sfn ne conservent que la spirale de type borné.

Les spirales de Poinsot font partie des spirales de CotesModèle:Sfn.

Spirale de Poinsot de type borné

Son équation polaire se ramène à $\rho \cosh (k\theta )=C$.

L'angle entre le vecteur normal à la courbe en A et le vecteur radial est l'angle α tel que:

$\tan \alpha =k\tanh (k\theta )$.

Le rayon de courbure a pour valeur :

$R=\rho \frac{{\sqrt{1+k^2{\tanh }^2(k\theta )}}^3}{1+k^2}$

La courbe de Poinsot bornée est la projection sur l'équateur d'une loxodromie de la sphèreModèle:Sfn.

Spirale de Poinsot de type asymptotique

Son équation polaire se ramène à $\rho \sinh (k\theta )=C$.

Elle possède une asymptote d'équation y= K/k.

L'angle entre le vecteur normal à la courbe en A et le vecteur radial est l'angle α tel que:

$\tan \alpha =k\coth (k\theta )$.

Le rayon de courbure a pour valeur:

$R=\rho \frac{{\sqrt{1+k^2{\coth }^2(k\theta )}}^3}{1+k^2}$

Voir aussi

Les spirales de Cotes, qui englobent les spirales de Poinsot.

Bibliographie

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