Suite de Jacobsthal

En mathématiques, la suite de Jacobsthal est une suite d'entiers portant le nom du mathématicien allemand Modèle:Lien (1882-1965). Comme la suite de Fibonacci, elle modélise l'accroissement d'une population de lapins.

Sachant qu'un couple de lapins donne naissance à deux nouveaux couples chaque mois et que chaque couple commence à engendrer à partir du deuxième mois suivant sa naissance, on demande le nombre total de couples au n-ième mois.

La suite commence par 0 et 1, puis chaque terme est obtenu en ajoutant le nombre précédent à deux fois le nombre anté-précédent. Les premiers termes en sont donc :

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525,… Modèle:OEIS.

C'est aussi une suite de Lucas $U_{n} (P, Q)$ , obtenue pour $P = 1, Q = - 2$ .

Historique

D'après Knuth, Ernst Jacobsthal n'a probablement jamais vu les valeurs de cette suite. C'est le mathématicien australien Alwyn Francis Horadam qui a utilisé l'appellation « suite de Jacobsthal », car Modèle:Citation (loi de Stigler)^[1].

Définition et formules

La suite de Jacobsthal est donc définie par récurrence double par :

J_{n} = {\begin{matrix} 0 & si n = 0 \\ 1 & si n = 1 \\ J_{n - 1} + 2 J_{n - 2} & si n ⩾ 2 \end{matrix}

L'application de la formule de Binet pour les suites récurrentes linéaires donne :

J_{n} = \frac{2^{n} - (- 1)^{n}}{3} .

on en déduit les formules de récurrence simples :

J_{n + 1} = 2 J_{n} + (- 1)^{n} = 2^{n} - J_{n}

d'où :

J_{n + 1} = 2^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{2^{k}} = (- 1)^{n} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} 2^{k}

La fonction génératrice est

\sum_{n = 0}^{\infty} J_{n} x^{n} = \frac{x}{(1 + x) (1 - 2 x)} .

La somme des inverses des nombres de Jacobsthal non nuls est environ égale à 2,7186, résultat légèrement supérieur à e.

En prolongeant la suite aux indices négatifs de sorte à avoir $J_{n} = J_{n - 1} + 2 J_{n - 2}$ , pour tout entier relatif $n$ , on a :

J_{- n} = (- 1)^{n} J_{n} / 2^{n}

et

2^{n} (J_{- n} + J_{n}) = 3 (J_{n}^{2} =

Modèle:OEIS2C

(n))