Généralisations de la suite de Fibonacci

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, la suite de Fibonacci est définie par récurrence par :

Modèle:Formule

Modèle:Formule

Modèle:Formule, pour tout entier $n⩾2$.

Autrement dit, les deux valeurs de départ 0 et 1 étant données, chaque nombre est la somme des deux précédents.

La suite de Fibonacci peut être généralisée de nombreuses façons ; par exemple, en partant d'autres nombres que 0 et 1, en ajoutant plus de deux termes pour engendrer le suivant, ou en ajoutant des objets autres que des nombres.

Extension aux entiers négatifs

À l'aide de la relation Modèle:Formule, on peut étendre la suite de Fibonacci à des indices entiers négatifs. On obtient la suite : Modèle:Math qui vérifie : Modèle:Math.

Extension aux nombres réels ou complexes

Tracé de la courbe de la fonction Fib entre -5 et 5.

De manière similaire à la généralisation de la suite des factorielles par la fonction Gamma d'Euler, on peut construire une généralisation de la suite de Fibonacci à des valeurs de départ réelles (et même complexes).

Elle est basée sur la formule de Binet faisant intervenir le nombre d'or φ :

$F_n=\frac{{\phi }^n-(-\phi {)}^{-n}}{\sqrt{5}}=\frac{{\phi }^n-(\cos n\pi ){\phi }^{-n}}{\sqrt{5}}$.

En posant :

$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{b}(z)=\frac{{\phi }^z-(\cos \pi z){\phi }^{-z}}{\sqrt{5}}$

on obtient une fonction holomorphe sur le plan complexe qui satisfait Modèle:Formule pour tout entier n.

Elle vérifie aussi Modèle:Formule pour tout complexe z.

Modification des termes initiaux

On peut désigner par suite de type Fibonacci toute suite Modèle:Math à valeurs dans un espace vectoriel, vérifiant Modèle:Math pour tout naturel n. Ces suites peuvent aussi être définies par Modèle:Math , de sorte qu'elles forment un plan vectoriel de base Modèle:Math. D'après la formule de Binet ci-dessus, une autre base de ce plan est Modèle:Math.

Plus généralement, Modèle:Math peut prendre ses valeurs dans un groupe abélien (considéré comme un $\mathbb{Z}$-module). Dans ce cas, les suites de type Fibonacci forment un $\mathbb{Z}$-module de dimension 2.

La suite de type Fibonacci la plus connue après la suite Modèle:Math est la suite des nombres de Lucas Modèle:Math définie par Modèle:Math, Modèle:Math et donc Modèle:Math ; prolongée aux entiers négatifs, elle vérifie aussi Modèle:Math.

Les suites d'entiers de type Fibonacci non triviales se trouvent toutes (éventuellement avec un décalage) sur une des lignes du tableau de Wythoff. La suite de Fibonacci en est la première ligne, et un décalage de celle de Lucas la deuxième.

Modification des coefficients de la récurrence

En reprenant les notations des suites de Lucas, on peut considérer les suites Modèle:Math vérifiant Modèle:Math où p et q sont des entiers fixés. Elles sont toutes combinaisons linéaires des deux suites de base Modèle:Math définies par :

$U_0=0,U_1=1,U_{n+2}=p{U}_{n+1}-q{U}_n\text{ et }{V}_0=2,V_1=1,V_{n+2}=p{V}_{n+1}-q{V}_n$

(pour Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math).

Lorsque Modèle:Math, la suite Modèle:Math est appelée p-suite de Fibonacci et c'est aussi la valeur en p du polynôme de Fibonacci d'indice n. Exemples :

• La 2-suite de Fibonacci est la suite de Pell.
• La 3-suite de Fibonacci est la Modèle:OEIS :
  0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, ...
• La 4-suite de Fibonacci est la Modèle:OEIS :
  0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ...
• La 5-suite de Fibonacci est, avec un décalage d'une unité, la Modèle:OEIS :
  0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ...
• La 6-suite de Fibonacci est la Modèle:OEIS :
  0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ...

La p-constante de Fibonacci, appelée aussi p-ième nombre métallique, est la limite du rapport de deux nombres consécutifs de la p-suite de Fibonacci ; c'est l'unique solution positive de Modèle:Formule, égale à Modèle:Formule.

En particulier, pour Modèle:Formule on obtient le nombre d'or Modèle:Sfrac, pour Modèle:Formule, le nombre d'argent 1 + Modèle:Racine, et sa valeur pour p = 3 , Modèle:Sfrac, est parfois appelée nombre de bronze.

Pour cette raison, ces suites ont été baptisées suites de p - métallonaci (p - metallonacci sequences en anglais), ce qui permet de les différencier des suites de p - bonacci suivantes. Elles sont regroupées dans le tableau Modèle:OEIS2C.

Plus généralement, Modèle:Math est appelée la Modèle:Formule-suite de Fibonacci ; exemples :

• La (1,2)-suite de Fibonacci est la suite de Jacobsthal, Modèle:OEIS :
  0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ...
• La (1,3)-suite de Fibonacci est la Modèle:OEIS :
  0,1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, ...
• La (2,2)-suite de Fibonacci est la Modèle:OEIS :
  0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ...
• La (3,3)-suite de Fibonacci est la Modèle:OEIS :
  0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ...

Augmentation de l'ordre de la récurrence

Une suite de type Fibonacci d'ordre p , ou suite de Modèle:Mvar-bonacci, est une suite d'entiers dans laquelle chaque terme à partir du Modèle:Mvar + 1-ième est la somme des Modèle:Mvar précédents (le cas classique est Modèle:Mvar = 2). Commençant à l'indice 0 et avec les Modèle:Mvar premiers termes 0, 1, 1, 2, 4, ..., $2^{p-3}$on la note Modèle:Math.

Interprétations combinatoires :

• Le nombre de listes d'entiers compris entre 1 et Modèle:Mvar inclus dont la somme vaut Modèle:Mvar (des compositions de Modèle:Mvar) est égal à Modèle:Math

• Le nombre de jeux de pile ou face de longueur Modèle:Mvar qui ne contiennent pas Modèle:Mvar "pile" consécutifs (ou le nombre de parties de $[[1,n]]$ ne contenant pas Modèle:Mvar entiers consécutifs) est égal à et Modèle:Math.

Ces suites ont été étudiées par Marc Barr en 1913.

Les suites de Tribonacci

Modèle:Article détaillé Ce sont les suites de type Fibonacci d'ordre 3 ; avec pour premiers termes 0,0,1, on obtient la Modèle:OEIS :

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre…

La constante de Tribonacci : $\frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}{3}=\frac{1+4\cosh \left(\frac{1}{3}{\cosh }^{-1}(2+\frac{3}{8})\right)}{3}\approx 1,839286755214161$, limite du quotient (suivant sur précédent) de deux termes consécutifs est étudiée dans l'article détaillé ci-dessus.

Les suites de Tétranacci

Ce sont les suites de type Fibonacci d'ordre 4 ; avec pour premiers termes 0, 0, 0, 1, on obtient la Modèle:OEIS :

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, ...

La constante de Tétranacci, rapport limite de deux termes consécutifs, racine positive de l'équation Modèle:Formule, ou Modèle:Formule , vaut environ 1,927561975482925 ( A086088) ; sa valeur exacte est :

$(p_1+\frac{1}{4})+\sqrt{{(p_1+\frac{1}{4})}^2-\frac{2{\lambda }_1}{p_1}(p_1+\frac{1}{4})+\frac{7}{24p_1}+\frac{1}{6}}$

où

$p_1=\sqrt{{\lambda }_1+\frac{11}{48}},{\lambda }_1=\frac{\sqrt[3]{3\sqrt{1689}-65}-\sqrt[3]{3\sqrt{1689}+65}}{12\sqrt[3]{2}}$.

Suites d'ordres supérieurs

Une suite où chaque terme est la somme des Modèle:Mvar précédents est désignée par suite de Modèle:Mvar-bonacci, ou Modèle:Mvar-nacci, avec des suffixes grecs pour les premières valeurs de Modèle:Mvar :

• Pentanacci : 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, ... Modèle:OEIS
• Hexanacci : 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, ... Modèle:OEIS
• Heptanacci : 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, ... Modèle:OEIS
• Octanacci : 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... Modèle:OEIS
• Enneanacci : 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, ... Modèle:OEIS

La limite ${\alpha }_p$ du quotient de deux termes consécutifs de la suite de Modèle:Mvar-nacci est appelée constante de Modèle:Mvar-nacci ; c'est la solution positive de l'équation caractéristique : Modèle:Math ou celle de Modèle:Formule autre que 1

Elle permet d'obtenir une formule directe du terme d'indice Modèle:Mvar de la suite de Modèle:Mvar-nacci définie ci-dessus :

$F_n^{(p)}=\lfloor \frac{{\alpha }_p^{n-1}({\alpha }_p-1)}{(p+1){\alpha }_p-2p}\rceil ,$ où et $\lfloor .\rceil$ désigne la fonction "entier le plus proche".

Autres généralisations

On peut mettre des coefficients dans la relation de récurrence ; la suite de Padovan, et la suite de Perrin, vérifiant Modèle:Math, entrent dans cette catégorie, et, plus généralement, les suites suivantes.

Suite engendrée par un rationnel

Pour obtenir toutes les suites où chaque terme est une combinaison linéaire à coefficients entiers fixée des termes précédents, on définit la suite de Fibonacci engendrée par N (où N est un nombre rationnel positif) comme suit : si Modèle:Math où Modèle:Mvar est le r-ième nombre premier, on pose :

$F_N(n)=a_1{F}_N(n-1)+a_2{F}_N(n-2)+a_3{F}_N(n-3)+a_4{F}_N(n-4)+a_5{F}_N(n-5)+...+a_r{F}_N(n-r)$

avec les initialisations : Modèle:Formule pour Modèle:Formule, Modèle:Math.

On obtient ainsi les cas précédents comme :

Nom de la suite	N	Référence dans l'OEIS
suite de Fibonacci	6	Modèle:OEIS
suite de Pell	12	Modèle:OEIS
suite de Jacobsthal	18	Modèle:OEIS
suite de Tribonacci	30	Modèle:OEIS
suite de Tetranacci	210	Modèle:OEIS
suite de Padovan	15	Modèle:OEIS

Suites modélisant l'accroissement d'une population de lapins

Partons du problème initial posé par Fibonacci : sachant qu'un couple de lapins donne naissance à un nouveau couple chaque mois et que chaque couple commence à engendrer à partir du deuxième mois suivant sa naissance, on demande le nombre total de couples au Modèle:Mvar-ième mois.

Changement du délai de gestation

On peut supposer que chaque couple commence à engendrer à partir du p-ième mois suivant sa naissance (biologiquement ce serait Modèle:Math ou 5).

Posant Modèle:Mvar, le nombre de couples de lapins nés durant le mois Modèle:Mvar, et partant d'un couple au mois 1, le nombre demandé est Modèle:Math ; comme Modèle:Math, la suite Modèle:Math est définie par :

$F_n=1\text{ pour }1⩽n⩽p,\text{ puis }{F}_n=F_{n-1}+F_{n-p}$.

• Pour Modèle:Math (la lapine met bas dès le mois suivant son mois de naissance), on trouve $F_n=2^{n-1}$.

• Pour Modèle:Math, on obtient la suite de Fibonacci classique

• Pour Modèle:Math, on obtient : 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88, 129, 189, 277,... : suite de Naranaya, Modèle:OEIS2C.
• Pour Modèle:Math, on obtient : 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 14, 19, 26, 36, 50, 69, 95, 131,... : Modèle:OEIS2C

Changement du nombre de couples dans la portée

Ici, un couple de lapins donne naissance à Modèle:Mvar nouveaux couples chaque mois et chaque couple commence à engendrer à partir du Modèle:Mvar-ième mois suivant sa naissance.

La suite donnant le nombre de lapins au mois Modèle:Mvar est alors définie par $F_n=1\text{ pour }1⩽n⩽p,\text{ puis }{F}_n=F_{n-1}+r{F}_{n-p}$.

Pour Modèle:Math , on dispose de la formule exacte : $F_n=\frac{(\frac{1+\sqrt{1+4r}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{1+4r}}{2}{)}^n}{\sqrt{1+4r}}$, et la limite de $F_{n+1}/F_n$ est $\frac{1+\sqrt{1+4r}}{2}$. Exemples :

• pour Modèle:Math, on obtient la suite de Jacobsthal : 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341,...,Modèle:OEIS , aussi dénommée suite de Bêta-nacci par Shari Lynn LEVINE .

On a dans ce cas tout simplement $F_n=\frac{2^n-(-1{)}^n}{3}$ et $F_{n+1}/F_n$ tend vers 2.

• pour Modèle:Math, on obtient la suite de Gamma-nacci : 1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, ..., Modèle:OEIS décalée d'un cran.
• pour r = 4, 5, 6, LEVINE a donné les noms de delta, êta , zêta - nacci.

Pour Modèle:Math, on obtient : 1, 1, 1, 3, 5, 7, 13, 23, 37, 63, 109,..., Modèle:OEIS décalée d'un cran.

Pour Modèle:Math, on obtient : 1, 1, 1, 4, 7, 10, 22, 43, 73, 139, 268,..., Modèle:OEIS décalée d'un cran.

Cas d'une durée de vie finie pour les lapins

On pose maintenant la condition que chaque lapin vit exactement Modèle:Mvar mois (i.e. meurt durant le Modèle:Mvar-ième mois suivant son mois de naissance), avec $q>p⩾1$ , les portées étant toujours de r couples.

Plus précisément, une lapine qui naît le mois Modèle:Mvar, commence à procréer le mois Modèle:Math, continue de procréer jusqu'au mois Modèle:Math, et meurt à la fin de ce mois ; chaque couple donne donc naissance à Modèle:Math couples.

Si l'on pose :

• Modèle:Mvar, le nombre de couples de lapins nés durant le mois Modèle:Mvar
• Modèle:Mvar, le nombre de couples de lapins vivants à la fin du mois Modèle:Mvar.

La suite Modèle:Math peut être définie sur les entiers relatifs par :

• Modèle:Math pour Modèle:Math
• Modèle:Math
• Modèle:Math pour Modèle:Math.

et on obtient Modèle:Mvar par la formule Modèle:Math.

La suite Modèle:Math peut être définie directement par récurrence d'ordre Modèle:Mvar :

Modèle:Math pour Modèle:Math

les Modèle:Mvar premiers termes étant définis par :

• Modèle:Math pour Modèle:Math
• Modèle:Math pour Modèle:Math

Elle vérifie aussi la relation de récurrence plus simple, mais d'ordre Modèle:Math : Modèle:Math pour Modèle:Math.

Exemples pour r = 1 (1 couple par portée)

1) Pour Modèle:Math et Modèle:Math (le couple met bas au bout de 2 mois, met bas puis meurt le mois suivant), on obtient la suite définie par :

$F_1=F_2=1,F_3=2,F_n=F_{n-2}+F_{n-3}$

Soit 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151,...

vérifiant aussi la récurrence d'ordre 4 :

$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}-F_{n-4}$.

C'est la suite de Padovan décalée, Modèle:OEIS.

2) Pour Modèle:Math et Modèle:Math, on obtient la suite définie par :

$F_1=F_2=1,F_3=2,F_4=3,F_n=F_{n-2}+F_{n-3}+F_{n-4}$

Soit : 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88, 129, 189, 277,...

Elle est aussi définie par récurrence d'ordre 3 :

$F_1=F_2=1,F_3=2,F_n=F_{n-1}+F_{n-3}$

Et on a la récurrence d'ordre 5 :

$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}-F_{n-5}$

C'est la suite de Naranaya, Modèle:OEIS2C.

Exemples avec r supérieur ou égal à 2

• Cas le plus simple

Pour Modèle:Math , Modèle:Math, Modèle:Math, on obtient la suite définie par :

$F_1=1,F_2=3,F_n=2(F_{n-1}+F_{n-2})$ : 1, 3, 8, 22, 60, 164, 448, 1224, 3344, 9136, 24960, 68192, ...., Modèle:OEIS décalée d'un cran.

• Suite de Vauban

Dans La cochonnerie, ou calcul estimatif pour connaître jusqu’où peut aller la production d’une truie pendant dix ans de temps (1699), Vauban montre qu’une seule truie a une descendance telle que, après douze générations, « il y a des porcs autant que l’Europe peut en nourrir ». Sa suite serait presque le cas Modèle:Math , Modèle:Math, Modèle:Math, avec une unité de temps égale à l'année au lieu du mois pour les lapins, sauf qu'il estime la première portée égale à 3 couples au lieu de 6.

La suite de Vauban est donc la suite (Modèle:Mvar) du nombre de naissances définie par :

• Modèle:Math pour Modèle:Math
• Modèle:Math
• Modèle:Math pour Modèle:Math.

On obtient pour (Modèle:Mvar) : 1, 3, 15, 69, 321, 1491, 6921, 32139, 149229, 692919, ... Modèle:OEIS.

Mot de Fibonacci

Modèle:Article détaillé Par analogie avec la suite de Fibonacci numérique, la suite des mots de Fibonacci est définie par : $M_0=(b),M_1=(a),M_{n+2}=M_{n+1}\bigsqcup M_n$ où $\bigsqcup$ désigne la concaténation de deux mots. En ôtant les parenthèses, on obtient :

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, ... (Modèle:OEIS)

La longueur de Modèle:Mvar est évidemment Modèle:Mvar et les mots de Fibonacci possèdent de nombreuses propriétés détaillées dans l'article correspondant.

Produits de convolution de la suite de Fibonacci

Une suite de Fibonacci convolée est obtenue en effectuant, une ou plusieurs fois, le produit de convolution de la suite par elle-même. Plus précisément, on définit :

$F_n^{(0)}=F_n\text{ et }{F}_n^{(r+1)}=\sum _{i=0}^n{F}_i{F}_{n-i}^{(r)}$.

Les premières suites sont

• pour Modèle:Formule : 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, ... (Modèle:OEIS).
• pour Modèle:Formule : 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, ... (Modèle:OEIS).
• pour Modèle:Formule : 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, ... (Modèle:OEIS).

Elles peuvent être calculées à l'aide de la relation de récurrence $F_{n+1}^{(r+1)}=F_n^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_n^{(r)}$.

La fonction génératrice du r-ième produit de convolution est $s^{(r)}(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{F}_n^{(r)}{x}^n={\left(\frac{x}{1-x-x^2}\right)}^r$.

Ces suites sont liées à la suite Modèle:Math des polynômes de Fibonacci par la relation : Modèle:Math où Modèle:Math est la r-ième dérivée de Modèle:Formule . De manière équivalente, Modèle:Math est le coefficient de Modèle:Formule lorsque Modèle:Formule est développé suivant les puissances de Modèle:Formule.

Le premier produit de convolution peut être écrit en termes de nombres de Fibonacci et de Lucas :

$F_n^{(1)}=\frac{n{L}_n-F_n}{5}$

et suit la récurrence

$F_{n+1}^{(1)}=2F_n^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1)}-F_{n-3}^{(1)}$.

Des expressions similaires peuvent être trouvées pour Modèle:Formule avec augmentation de la complexité à mesure que r augmente. Les nombres Modèle:Math sont les sommes des lignes du triangle de Hosoya.

Comme pour la suite de Fibonacci, il y a plusieurs interprétations combinatoires de ces suites. Par exemple, Modèle:Math est le nombre de façons d'écrire Modèle:Formule comme une somme de 0, de 1, et de 2 avec 0 utilisé exactement une fois. En particulier, Modèle:Math car 2 peut être écrit Modèle:Nobr, Modèle:Nobr, Modèle:Nobr, Modèle:Nobr, Modèle:Nobr.

D'autres généralisations

Suite de Fibonacci aléatoire

Une suite de Fibonacci aléatoire peut être définie lors d'un jeu de pile ou face, en prenant Modèle:Math si la pièce tombe sur pile, Modèle:Math sinon. Une étude de Furstenberg et Kesten montre que cette suite croît presque sûrement de façon exponentielle avec un taux de variation constant : la constante est indépendante de la pièce jetée et a été calculée en 1999 par Divakar Viswanath. Elle est maintenant connue sous le nom de constante de Viswanath (Modèle:OEIS).

Nombre de Keith

Un repfigit, ou nombre de Keith, est un entier naturel tel que, si l'on démarre une suite de type Fibonacci avec ses chiffres, le nombre d'origine finit par être atteint. Un exemple est 47, car la suite de type Fibonacci partant de 4 et 7 Modèle:Nobr atteint 47. En base 10, les premiers repfigits sont :

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre, Modèle:Nombre (Modèle:OEIS).

Demi-suite de Fibonacci

La demi-suite de Fibonacci (Modèle:OEIS) est définie par la même récurrence que la suite de Fibonacci pour les termes d'indice impair : Modèle:Math mais pour les indices pairs par Modèle:Math. La sous-suite des termes d'indice impair Modèle:Math vérifie Modèle:Math et est strictement croissante. Ses premiers termes :

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... (Modèle:OEIS)

Suite diatonique de Stern

Elle est définie par Modèle:Math, et Modèle:Math, avec pour initialisation : Modèle:Math. Modèle:Article détaillé

Voir aussi

• Les suites de Fibonacci modulo un entier.
• Liste de pages en rapport avec la suite de Fibonacci

Liens externes

• Modèle:EncycloMath