Triangle de Hosoya

Le triangle de Hosoya (dénommé aussi triangle de Fibonacci comme dans Modèle:OEIS2C) est un tableau triangulaire de nombres (similaire au triangle de Pascal) basé sur la suite de Fibonacci. Le triangle étant présenté sous forme pyramidale, chaque nombre est la somme des deux nombres des deux lignes précédentes, pris dans la diagonale gauche, ou dans la diagonale droite.

Le triangle est répertorié comme Modèle:OEIS.Modèle:Vignette multiple

Appellation

L'appellation « triangle de Fibonacci » est ambigüe car elle a également été utilisée pour d'autres triangles faisant apparaitre les nombres de Fibonacci, comme le triangle fibonomial, ou des triangles géométriques d'aire entière dont les côtés ont pour longueur des nombres de FibonacciModèle:,.

Définition par récurrence

Les termes de ce triangle peuvent être définis par récurrence par les relations :

$H_{0,0}=H_{1,0}=H_{1,1}=H_{2,1}=1$

et

$\begin{array}{cc}{H}_{n,k}& =H_{n-1,k}+H_{n-2,k}\text{ pour }0⩽k⩽n-2\\ & =H_{n-1,k-1}+H_{n-2,k-2}\text{ pour }n-1⩽k⩽n.\\ \end{array}$

Expression exacte

Les termes du triangle ont pour valeur :

$H_{n,k}=F_{k+1}\cdot F_{n-k+1}$

où $(F_n)$ est la suite de Fibonacci.

Démonstration

De $H_{n,k}=H_{n-1,k-1}+H_{n-2,k-2}\text{ pour }n-1⩽k⩽n$ on déduit $H_{n,n}=F_{n+1}$ et $H_{n,n-1}=F_n$.

De $H_{k+m,k}=H_{k+m-1,k}+H_{k+m-2,k}$ et $H_{k+0,k}=H_{k+1,k}=F_{k+1}$ on déduit $H_{k+m,k}=F_{k+1}{F}_{m+1}$.

En posant $n=k+m$, on obtient $H_{n,k}=F_{k+1}{F}_{n-k+1}$.

Propriétés

• 

  Le triangle est symétrique : $H_{n,k}=H_{n,n+1-k}$.

• La relation $H_{n,k}=H_{n-1,k-1}+H_{n-2,k-2}$ est valable pour $2⩽k⩽n$.

• Les deux bords du triangle sont constitués des nombres de Fibonacci : $H_{n,0}=H_{n,n}=F_{n+1}$, ainsi que les deux diagonales situées juste en dessous : $H_{n,1}=H_{n,n-1}=F_n$.

• Les termes centraux sont les carrés des nombres de Fibonacci : $H_{2n,n}=(F_{n+1}{)}^2$.

• Les autres termes du triangle sont produits de deux nombres de Fibonacci distincts.

• La suite des sommes des termes de chaque ligne est le produit de convolution de la suite de Fibonacci par elle-même : 1, 2, 5, 10, 20,..., Modèle:OEIS.
• Les termes opposés des sommets d'un losange ont des produits égaux ; par exemple $3\times 24=8\times 9$ dans la figure ci-contre.