Suite de Padovan

Construction de la suite de Padovan à l'aide de triangles équilatéraux, utilisant la relation $P_n=P_{n-1}+P_{n-5}$. Le nombre dans chaque triangle désigne la longueur de ses côtés.

La suite de Padovan est la suite d'entiers Modèle:Math définie par récurrence par :

$P_0=P_1=P_2=1\text{ et }\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{P}_{n+3}=P_{n+1}+P_n.$

C'est une suite récurrente linéaire qui ressemble dans sa forme à la suite de Fibonacci, à une nuance près : la somme des termes de rang Modèle:Mvar et Modèle:Math ne donne pas le terme de rang Modèle:Math mais celui de rang Modèle:Math.

Cette suite d'entiers est strictement croissante à partir du rang 4 ;étendue aux termes d'indice négatifs de sorte que la relation de récurrence ci-dessus soit valable $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}$, elle prend les valeurs :

Modèle:Mvar	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$P_n$	1	0	0	1	0	1	1	1	2	2	3	4	5	7	9	12

Elle correspond, décalée d'un cran, à la Modèle:OEIS ($P_n=A134816(n+1)$) et, décalée de cinq crans, à la Modèle:OEIS ($P_n=A000931(n+5)$).

Elle porte le nom de l'architecte Modèle:Lien qui l'a étudiée, et est associée au nombre plastique étudié par l'architecte puis moine Hans van der Laan. Le mathématicien Ian Stewart, dans l'Univers des nombres, évoque et étudie cette suite et lui attribue le nom de suite de Padovan ; il remarque que par une coïncidence heureuse, "Padovan" a la même origine que "Padoue", ville peu éloignée de Pise, dont Fibonacci était originaire.

Le terme général de la suite de Padovan est lié aux trois racines du polynôme Modèle:Math.

Le quotient de deux termes consécutifs tend vers le nombre plastique.

Formule de type Binet

En fonction des trois racines Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math de Modèle:Math (une réelle et deux complexes conjuguées) on a la formule de type Binet :

$P_n=\frac{(1-r_2)(1-r_3)}{(r_1-r_2)(r_1-r_3)}{r}_1^n+\frac{(1-r_3)(1-r_1)}{(r_2-r_3)(r_2-r_1)}{r}_2^n+\frac{(1-r_1)(1-r_2)}{(r_3-r_1)(r_3-r_2)}{r}_3^n.$

Les formules de Cardan donnent pour la racine réelle le nombre plastique  :

$r_1=\psi =\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{69}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{69}}{18}}\approx 1,32472.$

D'après les relations entre coefficients et racines, on a $r_2+r_3=-\psi ,r_2{r}_3=1/\psi$, donc $r_2,r_3$, qui sont conjuguées, sont de module $\frac{1}{\sqrt{\psi }}<1$. On obtient :

$P_n=\frac{{\psi }^5}{2\psi +3}{\psi }^n+{\epsilon }_n$ où ${\epsilon }_n\to 0$

ainsi que $P_n=\lfloor \frac{{\psi }^{n+5}}{2\psi +3}\rceil$ où $\lfloor x\rceil$ est l'entier le plus proche de $x$.

Propriétés

• Comme pour la suite de Fibonacci, la suite de Padovan s'obtient par puissance $n$-ième de la matrice compagnon du polynôme caractéristique :

• La fonction génératrice est donnée par :Modèle:Centrer

• $\sum _{k=0}^n{P}_k=P_{n+5}$
• Les nombres de Padovan premiers sont 2, 3, 5, 7, 37, 151Modèle:Etc. (Modèle:OEIS).

Interprétations combinatoires

• $P_{n-2}$ est le nombre de décompositions ordonnées (compositions) de $n$ comme somme de 2 et de 3 ; par exemple, pour $n=8$ on a 2 + 3 + 3 , 3 + 2 + 3 , 3 + 3 + 2 , 2 + 2 + 2 + 2.
• On en déduit l'expression à l'aide de coefficients binomiaux  :Modèle:Centrer
• $P_{n-5}$ est le nombre de décompositions ordonnées de $n$ comme somme de nombres impairs au moins égaux à 3. Par exemple, pour $n$ = 11, on a 11, 5+3+3, 3+5+3 et 3+3+5 .
• $P_{n-4}$ est le nombre de décompositions ordonnées de $n$ comme somme d’entiers naturels congrus à 2 modulo 3. Par exemple, pour $n$ = 10, on a 2 + 8, 8 + 2, 5 + 5 et 2+2+2+2+2.
• $P_{n+1}$ est le nombre de dispositions maximales de $n$ personnes assises en ligne de sorte que deux personnes ne soient jamais côte à côte. Par exemple, pour $n$ = 5, il y a 01010, 10010, 01001 et 10101 en notant 0 pour une place vide et 1 pour une place occupée (pour le cas où les personnes sont placées en rond, il s'agit de la suite de Perrin).
• $P_{n+3}$ est le nombre de mots de $n$ lettres A ou B tels qu’il n’y a jamais deux A voisins et jamais plus de deux B voisins. Par exemple, pour $n$ = 3, ABA, ABB, BAB et BBA.

Variantes

On trouve parfois des initialisations différentes comme dans les suites Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C (simples décalages de la suite de Padovan), Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C de l'OEIS.

Cette dernière est la suite de Perrin : 3, 0, 2, 3, 2, 5Modèle:Etc.