Relations entre coefficients et racines

portrait de François Viète.

Un polynôme $P$ de degré $n$ sur un corps Modèle:Mvar s'écrit sous sa forme la plus générale :

$P=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_0$

où $a_i$ est appelé coefficient de $x^i$.

Si $P$ est scindé, on peut aussi le définir grâce à ses racines, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de $x$ qui annulent $P$. Ainsi, le théorème de d'Alembert-Gauss garantit que tout polynôme de degré $n$ à coefficients complexes admet exactement $n$ racines sur $ℂ$, éventuellement multiples (sur $ℝ$ en revanche, ce n'est pas toujours vrai). Il en résulte qu'un polynôme $P$ à coefficients complexes peut se réécrire :

$P=a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n)$,

avec $x_i$ les racines de $P$, éventuellement multiples. Les relations entre les coefficients et les racines portent le nom de François Viète, le premier à les avoir énoncées dans le cas de racines positives.

Relations de Viète

Polynômes symétriques

Modèle:Article détaillé On définit le $k$-ième polynôme symétrique à $n$ indéterminées, noté ${\sigma }_k$, comme la somme de tous les produits à $k$ facteurs de ses indéterminées. (Il y a $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ tels produits possibles.) Par exemple, les polynômes symétriques associés aux indéterminées $w$, $x$, $y$ et $z$ sont :

${\sigma }_0=1$,

${\sigma }_1=w+x+y+z$,

${\sigma }_2=wx+wy+wz+xy+xz+yz$,

${\sigma }_3=wxy+wyz+xyz+xzw$,

${\sigma }_4=wxyz$.

Plus généralement, en considérant les polynômes symétriques ${\sigma }_1\cdots {\sigma }_n$ à $n$ indéterminées,

${\sigma }_0(x_1,\cdots x_n)=1$,

${\sigma }_1(x_1,\cdots x_n)=\sum _{i=1}^n{x}_i$,

${\sigma }_2(x_1,\cdots x_n)=\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j$,

$⋮$

${\sigma }_k(x_1,\cdots x_n)=\sum _{1\le i_1<\cdots <i_k\le n}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\dots x_{i_k}$,

$⋮$

${\sigma }_n(x_1,\cdots x_n)=x_1{x}_2\dots x_n$.

Théorème

Soient $P={\mathrm{\Sigma }}_{j=0}^n{a}_j{X}^j$ un polynôme scindé de degré $n$ et $x_1,\dots ,x_n$ ses $n$ racines (les racines multiples étant comptées plusieurs fois). Alors pour tout $k\in [[0;n]]$,

${\sigma }_k(x_1,\dots ,x_n)=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$

ce qui peut encore s'écrire

$a_k=a_n(-1{)}^{n-k}{\sigma }_{n-k}(x_1,\dots ,x_n)$

Ces relations se prouvent en développant le produit $P=a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n)$, et en identifiant les coefficients du développement (qui s'expriment à partir des polynômes symétriques des racines) avec les coefficients de $P=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_0$.

Exemples

• Cas $n=2$. Soient $P=a{X}^2+bX+c$ et $x_1,x_2$ ses racines. Alors,

  $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$,

  $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$.

• Cas $n=3$. Soient $P=a{X}^3+b{X}^2+cX+d$ et $x_1,x_2,x_3$ ses racines. Alors,

  $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$,

  $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$,

  $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$.

Sommes de Newton

Exemple introductif

On se donne le polynôme $P=X^3+2X^2+3X+4$ avec $a$, $b$, $c$ ses racines. On veut déterminer la somme $a^2+b^2+c^2$. Pour cela, on dispose de l'identité suivante :

$a^2+b^2+c^2=(a+b+c{)}^2-2(ab+ac+bc)$,

si bien que, d'après les relations de Viète :

$a^2+b^2+c^2=(-2{)}^2-2\cdot 3=-2$.

Théorème

Les sommes de Newton sont une généralisation de ce principe. On pose $s_k=x_1^k+\cdots +x_n^k$, où les $x_i$ sont les racines de $P=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\dots +a_0$ (en particulier, $s_0=n$). La méthode présentée dans l'exemple se généralise, mais les calculs deviennent compliqués. On peut par contre démontrer directement que, pour $d\le n$ :

$a_n{s}_1+a_{n-1}=0$,

$a_n{s}_2+a_{n-1}{s}_1+2a_{n-2}=0$,

$a_n{s}_3+a_{n-1}{s}_2+a_{n-2}{s}_1+3a_{n-3}=0$,

$⋮$

$a_n{s}_d+a_{n-1}{s}_{d-1}+\dots +a_{n-d+1}{s}_1+d{a}_{n-d}=0$.

Continuité des racines

En raison de leur expression polynomiale, les coefficients d'un polynôme à coefficients complexes sont des fonctions continues de ses racines. La réciproque est vraie mais plus délicate à prouver. Considérons l'application $F:{ℂ}^n\to {ℂ}^n$ définie par :

$F(z_1,\dots ,z_n)=(-{\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,(-1{)}^n{\sigma }_n)$

où les ${\sigma }_i$ sont les polynômes symétriques élémentaires définis à partir de $(z_1,\dots ,z_n)$. $F(z_1,\dots ,z_n)$ donne la liste des coefficients du polynôme unitaire $(X-z_1)\cdots (X-z_n)$ (hormis le coefficient dominant égal à 1). D'après le théorème de d'Alembert, cette application est surjective. $F$ est continue puisque les coefficients du polynôme sont des fonctions continues des racines. La factorisation canonique de $F$ conduit à introduire la relation d'équivalence suivante sur l'ensemble de départ ${ℂ}^n$ de $F$ :

$(z_1,\dots ,z_n)ℛ({z_1}^{\prime },\dots ,{z_n}^{\prime })⟺F(z_1,\dots ,z_n)=F({z_1}^{\prime },\dots ,{z_n}^{\prime })⟺\mathrm{\exists }\phi \in {𝔖}_n,\mathrm{\forall }i,{z_i}^{\prime }=z_{\phi (i)}$

où ${𝔖}_n$ est le groupe symétrique sur l'ensemble $\{i,\dots ,n\}$ des indices. Notons ${ℂ}^n/{𝔖}_n$ l'ensemble quotient. Munissons cet ensemble de la topologie quotient. $F$ se factorise sous la forme $\bar{F}\circ \pi$, où $\pi$ est la projection canonique de ${ℂ}^n$ sur ${ℂ}^n/{𝔖}_n$, et $\bar{F}$ l'application de ${ℂ}^n/{𝔖}_n$ dans ${ℂ}^n$ qui, à une classe d'équivalence représentée par $(z_1\cdots ,z_n)$ associe la suite des polynômes symétriques élémentaires correspondants. On peut alors montrer que $\bar{F}$ est un homéomorphisme entre l'ensemble ${ℂ}^n/{𝔖}_n$ des racines du polynôme à permutation près et l'ensemble ${ℂ}^n$ des coefficients du polynôme.

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