Symétrie vectorielle

Modèle:Homon En algèbre linéaire, une symétrie vectorielle est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes :

• une application linéaire associée à une décomposition de E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires consistant, après avoir décomposé le vecteur en ses deux composantes, à changer le signe d'une des composantes
• une application linéaire involutive : elle vérifie Modèle:Math.

Définition par décomposition

En considérant (K,+,.) un corps, (E,+,•) un K-espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E, la symétrie par rapport à F parallèlement à G est l'unique endomorphisme s de E tel que la restriction de s sur F est l'injection canonique de F dans E et la restriction de s sur G est l'opposé de l'injection canonique de G dans E.

N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : $\mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{\exists }!(x^{\prime },x^{″})\in F\times G,x=x^{\prime }+x^{″}$. La symétrie par rapport à F parallèlement à G est alors l'application :

$\begin{array}{ccc}s:& E=F\oplus G& \to E\\ & x=x^{\prime }+x^{″}& \mapsto x^{\prime }-x^{″}\end{array}$

Il est immédiat de remarquer que s ∘ s = IdModèle:Ind .

Définition par involution

Si la caractéristique de K est différente de 2 alors, pour tout endomorphisme s de E tel que Modèle:Math, les sous-espaces Modèle:Math et Modèle:Math sont supplémentaires, et s est la symétrie par rapport au premier, parallèlement au second.

La notion de symétrie vectorielle est liée à celle des projecteurs et projections.

• si p est un projecteur et $q=Id-p$ sa projection associée alors $s=p-q$ est une symétrie.
• Si la caractéristique de K est différente de 2, si s est une symétrie, $p=\frac{1}{2}(s+Id)$ et $p=\frac{1}{2}(s-Id)$ sont ses projecteurs associés.

Symétrie orthogonale

Dans un espace quadratique, la symétrie est dite orthogonale si les sous-espaces F et G sont orthogonaux. Une symétrie orthogonale est une isométrie.