Système de Johnson

En statistique, le système de Johnson est une famille de fonctions conçues pour modéliser une loi de probabilités à partir de tirages aléatoires, définie par N. L. Johnson en 1949Modèle:,. Chacun des trois sous-types est caractérisé par quatre paramètres.

Utilisation

L'idée de Johnson est de trouver le modèle le plus adapté à partir des quatre premiers moments d'un échantillon (espérance, variance, asymétrie et kurtosis), en transformant la variable aléatoire Modèle:Mvar qu'on souhaite modéliser par la transformation :

$Z=\gamma +\delta h\left(\frac{X-\xi }{\lambda }\right)$

où Modèle:Mvar suit la loi normale standard. Les valeurs Modèle:Mvar et Modèle:Math servent donc conjointement de paramètres de position et d'échelle, tandis que Modèle:Mvar caractérise l'asymétrie et Modèle:Mvar, la kurtosis.

Johnson propose trois transformations:

• une transformation bornée par la fonction logit, qu'il note SModèle:Ind (pour Modèle:Lang) :

$h(x)=\ln \left(\frac{x}{1-x}\right)$

• une transformation par la fonction logarithme qu'il note SModèle:Ind (pour Modèle:Lang) :

$h(x)=\ln (x)$

• une transformation par la fonction sinus hyperbolique non bornée qu'il note SModèle:Ind (pour Modèle:Lang) :

$h(x)=\sinh (x)$

La loi normale est parfois incluse dans le système de Johnson, notée SModèle:Ind.

Distribution de Johnson

Support borné : lois SModèle:Ind

Modèle:Infobox Distribution statistiques N. L. Johnson a d'abord proposé la transformation:

$z=\gamma +\delta \ln \left(\frac{\frac{x-\xi }{\lambda }}{1-\frac{x-\xi }{\lambda }}\right)$

où $z\sim 𝒩(0,1)$.

La loi S_B de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :

$y=\xi +\frac{\lambda }{1+{\mathrm{e}}^{-(z-\gamma )/\delta }}.$

On reconnait la forme d'une fonction logistique.

Modèle:Clr

Version bivariée : lois SModèle:Ind

Johnson a étendu la loi SModèle:Ind en une version bivariée, notée SModèle:Ind. La densité de la loi est

$f(z_1,z_2,\rho )=\frac{1}{2\pi \sqrt{1-{\rho }^2}}\exp (-\frac{1}{2}\frac{z_1^2-2z_1{z}_2+z_2^2}{1-{\rho }^2}).$

où Modèle:Math et Modèle:Math suivent chacun une loi SModèle:Ind, et $\rho =𝔼(Z_1{Z}_2)$ la mesure de dépendance entre les deux variables.

Support semi-infini : lois S_L

Modèle:Infobox Distribution statistiques N. L. Johnson a d'abord proposé la transformation:

$z=\gamma +\delta \ln \left(\frac{x-\xi }{\lambda }\right)$

où $z\sim 𝒩(0,1)$.

La loi S_L de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :

$y=\lambda {\mathrm{e}}^{-(z-\gamma )/\delta }+\xi .$

La loi S_B convient pour modéliser les lois platikurtiques.

Support infini : lois S_U

Modèle:Infobox Distribution statistiques Les lois S_U de Johnson se basent sur la transformation de la loi normale suivante:

$z=\gamma +\delta \mathrm{arsinh}\left(\frac{x-\xi }{\lambda }\right)$

où $z\sim 𝒩(0,1)$.

La loi S_U de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :

$y=\lambda \sinh ((z-\gamma )/\delta )+\xi .$

Identification du type

Afin d'identifier le type de lois de Johnson à partir du tirage, il y a plusieurs méthodes, la plus simple étant la méthode des moments qui se base surtout sur les moments d'ordre 3 et 4. Par exemple, pour une loi SModèle:Ind, ces moments valent:

${\beta }_1=\frac{{\mu }_3^2}{{\mu }_2^3}=({\mathrm{e}}^{{\delta }^{-2}}-1)({\mathrm{e}}^{{\delta }^{-2}}+2{)}^2,{\beta }_2=\frac{{\mu }_4}{{\mu }_2^2}={\mathrm{e}}^{4{\delta }^{-2}}+2{\mathrm{e}}^{3{\delta }^{-2}}+3{\mathrm{e}}^{2{\delta }^{-2}}-3.$

Ainsi, toute loi de Johnson vérifie ${\beta }_2-{\beta }_1-1⩾0$.

D'autres moyens ont été développés, reposant sur la méthode d'adaptation des quantiles, la méthode des moindres carrés, ou des estimateurs statistiquesModèle:,Modèle:,.

Génération de variables aléatoires

Pour générer des tirages aléatoires suivant une loi de Johnson, on peut méthode de la transformée inverse : soit U une variable aléatoire uniforme continue sur l'intervalle unité [0; 1]. Les lois de Johnson peuvent alors être simulées par :

$X=\lambda h\left(\frac{{\mathrm{\Phi }}^{-1}(U)-\gamma }{\delta }\right)+\xi$

où Modèle:Math est la fonction de répartition de la loi normale, et Modèle:Mvar étant la fonction liée à la famille de lois voulue (Modèle:Math pour une loi SModèle:Ind, Modèle:Math pour une loi SModèle:Ind, Modèle:Math pour une loi SModèle:Ind).

Applications

Les lois SModèle:Ind de Johnson ont été utilisées pour modéliser des rendements des actifs pour la gestion de portefeuille, mais aussi la tarification d'options, et estimer un Modèle:Lien ; voir arbre binomial de Johnson.

Une alternative au système de Johnson est le système de lois paramétrées par les quantiles (Modèle:Lang), plus souple pour l'adaptation de forme. Au lieu d'adapter les paramètres aux moments, le système de lois paramétrées par les quantiles vise à adapter la fonction de densité par moindres carrés.

Sources

• Modèle:Article
• Modèle:Article(Preprint)
• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Article.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Article.

Voir aussi

• Ajustement de loi de probabilité
• Fonction de Pearson
• Système de Burr