Série alternée des factorielles

En mathématiques, et plus précisément en analyse, la série alternée des factorielles est la série divergente 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ , en notations modernes :

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k}k!$.

Leonhard Euler est le premier à avoir considéré cette série, qu'il dénomme "série hypergéométrique de Wallis". Il l'étudia par des méthodes de sommation formelle, ainsi qu'en lui associant une équation différentielle ; cela lui permit de lui attribuer une valeur finie. Il est plus simple pour la sommer d'utiliser la sommation de Borel :

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k}k!=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^k{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x$

(formellement, puisque les deux séries divergent).

Échangeant somme et intégrale, on obtient :

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k}k!=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-x{)}^k){\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x.$

La somme entre crochets converge vers 1/(1 + x) si x < 1. La remplaçant alors par 1/(1 + x) même pour les valeurs de x supérieures à 1, on obtient une intégrale convergente, ce qui autorise à écrire (au sens de Borel) :

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k}k!=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{1+x}\mathrm{d}x=-\mathrm{e}\cdot \mathrm{E}\mathrm{i}(-1)\approx 0,596347362323194074341078499369\dots$

où Modèle:Math est la base des logarithmes népériens, et où Modèle:Math est l'exponentielle intégrale.

La valeur de cette intégrale est appelée constante de Gompertz ou constante d'Euler-Gompertz, voir la Modèle:OEIS.

Calcul par une équation différentielle

Considérons le système d'équations différentielles

La solution stable vérifiant Modèle:Math pour Modèle:Math est donnée par Modèle:Math. En introduisant ce résultat dans l'équation en Modèle:Math puis en cherchant une solution sous forme de série formelle, on trouve :

La valeur Modèle:Math est précisément celle qu'on veut calculer. D'un autre côté, on peut calculer la solution exacte :

Par intégrations par parties successives, on retrouve la série entière comme développement asymptotique de cette expression pour Modèle:Math. Euler utilise cette égalité pour affirmer :

Modèle:Retrait ce qui est bien la valeur obtenue par sommation de Borel.

Articles connexes

• Factorielle alternée
• Série des entiers (1 + 2 + 3 + 4 + ⋯)
• Série alternée des entiers (1 − 2 + 3 − 4 + ⋯)
• Série de Grandi (1 − 1 + 1 − 1 + ⋯)
• Série divergente