Tétraèdre orthocentrique

En géométrie, un tétraèdre orthocentrique, est un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes. Leur point de concours est alors désigné comme l'orthocentre du tétraèdre.

Il a été étudié par Simon Lhuilier en 1782^[1], puis par Gaston de Longchamps en 1890, qui lui a donné son nom^[2].

Le tétraèdre régulier et le tétraèdre trirectangle en sont des cas particuliers, mais pas le tétraèdre quadrirectangle.

Caractérisations

Orthogonalité des arêtes opposées

Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux^[3].

Modèle:Démonstration

De plus la relation dite d'Euler^[3] $\vec{A B} \cdot \vec{C D} + \vec{A C} \cdot \vec{D B} + \vec{A D} \cdot \vec{B C} = 0$ montre qu'il suffit que deux couples d'arêtes opposées soient formés d'arêtes orthogonales pour que les trois le soient.

Pieds des hauteurs

Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si les pieds des quatre hauteurs sont les orthocentres des faces, et il suffit qu'un pied de hauteur le soit pour que le tétraèdre soit orthocentrique^[3].Modèle:Démonstration/débutImplication directe :

Reprenant la démonstration précédente, la droite $(B H_{A})$ du plan $(A B H)$ orthogonal à $(C D)$ est orthogonale à $(C D)$ ; c'est donc la hauteur issue de $B$ dans le triangle $(B C D)$ . Mais par symétrie des hypothèses, les droites $(C H_{A})$ et $(D H_{A})$ sont les deux autres hauteurs du triangle $B C D$ : $H_{A}$ en est donc l'orthocentre, et de même pour $H_{B}, H_{C}, H_{D}$ .

Réciproque :

Supposons que $H_{A}$ soit l'orthocentre de $B C D$ . Le plan $(A B H_{A})$ contient les droites $(B H_{A})$ et $(A H_{A})$ qui sont orthogonales à $(C D)$ , il est donc orthogonal à $(C D)$ . La droite $(A B)$ qui est dans ce plan est donc orthogonale à $(C D)$ et on pourrait faire de même avec les autres paires d'arêtes opposées. Modèle:Démonstration/finOn obtient donc un tétraèdre orthocentrique quelconque en partant d'un triangle et en prenant le quatrième sommet sur la perpendiculaire au plan de ce triangle passant par l'orthocentre.

Parallélépipède circonscrit

On peut inscrire un tétraèdre dans le parallélépipède dont les trois paires de faces parallèles sont incluses dans les paires de plans parallèles contenant deux arêtes opposées.

Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si ce parallélépipède circonscrit a ses arêtes de même longueur, autrement dit est un rhomboèdre.

En effet, dans le tétraèdre, deux arêtes opposées sont orthogonales si et seulement si les faces correspondantes du parallélépipède circonscrit sont des losanges (car un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont orthogonales). Si quatre faces d'un parallélépipède sont des losanges, alors toutes les arêtes ont des longueurs égales et les six faces sont des losanges ; il s'ensuit que si deux paires d'arêtes opposées dans un tétraèdre sont formées d'arêtes orthogonales, alors la troisième paire a la même propriété et le tétraèdre est orthocentrique.

Relation métrique

Un tétraèdre ABCD est orthocentrique si et seulement si la somme des carrés des longueurs de deux arêtes opposées est la même pour les trois paires d'arêtes opposées^[4]Modèle:,^[5]Modèle:,^[3] :

A B^{2} + C D^{2} = A C^{2} + B D^{2} = A D^{2} + B C^{2} .

En fait, il suffit que seulement deux paires d'arêtes opposées satisfassent cette condition pour que le tétraèdre soit orthocentrique.Modèle:Démonstration/début On part de $A B^{2} + C D^{2} - (A C^{2} + B D^{2}) = (A B^{2} - A C^{2}) - (D B^{2} - D C^{2}) = \vec{C B} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C}) - \vec{C B} \cdot (\vec{D B} + \vec{D C}) = 2 \vec{C B} \cdot \vec{A D}$ .

Il en résulte que $A B^{2} + C D^{2} = A C^{2} + B D^{2}$ si et seulement si les arêtes $(A D)$ et $(B C)$ sont orthogonales. En écrivant la même relation pour les arêtes $(A B)$ et $(C D)$ , on obtient bien cette condition nécessaire et suffisante.

Modèle:Démonstration/fin

Bimédianes

Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si ses trois bimédianes (joignant les milieux de deux arêtes opposées) ont la même longueur ^[5]Modèle:,^[3].

En effet, les bimédianes sont les segments joignant les centres de deux faces opposées du parallélépipède circonscrit, lesquels ont même longueur que les arêtes qui leur sont parallèles ; elles sont donc de même longueur si et seulement si les arêtes du parallélépipède ont même longueur.

Bihauteurs

Dans un tétraèdre orthocentrique, les bihauteurs (perpendiculaires communes à deux arêtes opposées) concourent à l'orthocentre.

Modèle:Démonstration/début

Le point $H$ appartient au plan $(A B H)$ qui est le plan contenant $(A B)$ et orthogonal à $(C D)$ ; il appartient aussi au plan $(C D H)$ qui est le plan contenant $(C D)$ et orthogonal à $(A B)$ ; il appartient donc à leur intersection qui est la bihauteur perpendiculaire commune à $(A B)$ et $(C D)$ . De même, il appartient aux deux autres bihauteurs.

Modèle:Démonstration/fin

Réciproquement, un tétraèdre dont les bihauteurs sont concourantes est orthocentrique, équifacial, ou formé d'un losange gauche et de ses diagonales ^[6]Modèle:,^[7]Modèle:,^[8].

Point de Monge et droite d'Euler

On a le théorème suivant, dû à Monge :

Modèle:Énoncé

Si le tétraèdre n'est pas équifacial, auquel cas Modèle:Mvar, ces trois points sont donc alignés sur une droite, dite d'Euler par analogie avec le cas du triangle. Et lorsque le tétraèdre est orthocentrique, le point de Monge coïncide avec l'orthocentre ^[9]Modèle:,^[10].

Modèle:Démonstration/débutOn pose $M$ le symétrique de $O$ par rapport à $G$ .

Soient Modèle:Mvar et Modèle:Mvar les milieux respectifs de [[[:Modèle:Mvar]]] et [[[:Modèle:Mvar]]] ; on va montrer que $\vec{I M} = \vec{O J}$ ; comme (Modèle:Mvar) est orthogonale à (Modèle:Mvar) cela prouvera que le plan passant par $I$ et orthogonal à $(C D)$ passe par $M$ , et, par symétrie, la même propriété pour les six plans similaires.

On peut écrire : $\vec{M I} + \vec{M J} = \frac{1}{2} (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D}) = 2 \vec{M O} + 2 \vec{O G}$ ; or $\vec{O G} = \frac{1}{2} \vec{O M}$ , donc $\vec{M I} + \vec{M J} = \vec{M O}$ et $\vec{I M} = \vec{O J}$ .

Si le tétraèdre est orthocentrique, le plan passant par le milieu de $(A B)$ et orthogonal à $(C D)$ est le plan contenant $(A B)$ et orthogonal à $(C D)$ . Raisonnant de même pour la plan passant par le milieu de $(C D)$ et orthogonal à $(A B)$ , on obtient que le point $M$ appartient à leur intersection qui est la bihauteur associée à $(A B)$ et $(C D)$ . Il appartient donc aux trois bihauteurs, qui concourent en $H$ ; donc $M = H$ .

Modèle:Démonstration/fin

Sphères d'Euler

Première sphère d'Euler

Les quatre milieux des arêtes, et les huit pieds des perpendiculaires communes aux arêtes opposées sont douze points d'une même sphère de centre Modèle:Mvar. Les intersections de la sphère avec les faces sont leurs cercles d'Euler^[11]Modèle:,^[3].

Deuxième sphère d'Euler

Les quatre points situés au tiers des segments joignant Modèle:Mvar aux sommets, les quatre pieds des hauteurs, et les quatre centres de gravité des faces sont douze points d'une même sphère centrée sur la droite d'Euler en Modèle:Mvar vérifiant

\vec{H O^{'}} = \frac{1}{3} \vec{H O}

. Elle est l'image de la sphère circonscrite par l'homothétie de centre Modèle:Mvar et de rapport -1/3 ^[11]Modèle:,^[3].

Droite d'Euler avec les points remarquables

G, H, O

. Le point

I

ajouté est le point de concours des perpendiculaires aux plan des faces en leur centre de gravité.

Volume du tétraèdre orthocentrique

Une première formule est

V = \frac{1}{6} a b δ

où Modèle:Mvar sont les longueurs de deux arêtes opposées, et $δ$ leur distance^[11].

La caractérisation concernant les arêtes implique que si seulement quatre des six arêtes d'un tétraèdre orthocentrique sont de longueur connue, les longueurs des deux autres peuvent être calculées si elles ne sont pas opposées l'une à l'autre. Par conséquent, le volume d'un tétraèdre orthocentrique peut être exprimé en termes de quatre longueurs d'arêtes Modèle:Mvar . La formule est^[12]

V = \frac{1}{6} \sqrt{4 (a^{2} + a'^{2}) p (p - a) (p - b) (p - c) - a^{2} b^{2} c^{2}}

où Modèle:Mvar sont les longueurs des arêtes d'une même face, $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ le demi-périmètre de cette face, et Modèle:Mvar la longueur de l'arête opposée à celle de longueur Modèle:Mvar.

Articles connexes

Tétraèdre équifacial
Tétraèdre trirectangle
Quadrangle orthocentrique, tétraèdre orthocentrique aplati

Références

Modèle:Références Modèle:Traduction/Référence

Modèle:Portail

↑ Modèle:Article.
↑ Modèle:Article.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 et ^3,6 Modèle:Ouvrage
↑ Reiman, István, "International Mathematical Olympiad: 1976-1990", Anthem Press, 2005, pp. 175-176.
↑ ^5,0 et ^5,1 Hazewinkel, Michiel, "Encyclopaedia of mathematics: Supplement, Volym 3", Kluwer Academic Publishers, 1997, p. 468.
↑ Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:Article
↑ Modèle:Article
↑ Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:Article
↑ ^11,0 ^11,1 et ^11,2 Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:Ouvrage.

[1] Modèle:Article.

[2] Modèle:Article.

[:02-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 et ^3,6 Modèle:Ouvrage

[4] Reiman, István, "International Mathematical Olympiad: 1976-1990", Anthem Press, 2005, pp. 175-176.

[Hazewinkel-5] 5,0 et ^5,1 Hazewinkel, Michiel, "Encyclopaedia of mathematics: Supplement, Volym 3", Kluwer Academic Publishers, 1997, p. 468.

[6] Modèle:Ouvrage

[7] Modèle:Article

[8] Modèle:Article

[9] Modèle:Ouvrage

[10] Modèle:Article

[:0-11] 11,0 ^11,1 et ^11,2 Modèle:Ouvrage

[Andreescu-12] Modèle:Ouvrage.

[1]

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Tétraèdre orthocentrique

Sommaire

Caractérisations

Orthogonalité des arêtes opposées

Pieds des hauteurs

Parallélépipède circonscrit

Relation métrique

Bimédianes

Bihauteurs

Point de Monge et droite d'Euler

Sphères d'Euler

Première sphère d'Euler

Deuxième sphère d'Euler

Volume du tétraèdre orthocentrique

Articles connexes

Références

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Tétraèdre orthocentrique

Caractérisations

Orthogonalité des arêtes opposées

Pieds des hauteurs

Parallélépipède circonscrit

Relation métrique

Bimédianes

Bihauteurs

Point de Monge et droite d'Euler

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Première sphère d'Euler

Deuxième sphère d'Euler

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