Tenseur énergie-impulsion

Modèle:Ébauche Le tenseur énergie-impulsion est un outil mathématique utilisé notamment en relativité générale afin de représenter la répartition de masse et d'énergie dans l'espace-temps.

La théorie de la relativité restreinte d'Einstein établissant l'équivalence entre masse et énergie, la théorie de la relativité générale indique que ces dernières courbent l'espace. L'effet visible de cette courbure est la déviation de la trajectoire des objets en mouvement, observé couramment comme l'effet de la gravitation.

Histoire

Le tenseur énergie-impulsion du champ électromagnétique a été écrit, pour la première fois, par Joseph Larmor (Modèle:Date--Modèle:Date-) en Modèle:Date dans l'essai qui lui a permis de remporter le prix Adams et qu'il a publié en Modèle:Date dans Modèle:LangueModèle:Sfn.

En Modèle:Date, William Thomson (Modèle:Date--Modèle:Date-) introduit la notion de densité d'énergie électromagnétiqueModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn ; en Modèle:Date, James Clerk Maxwell (Modèle:Date--Modèle:Date-), celle de tension électromagnétiqueModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn ; en Modèle:Date, John Henry Poynting (Modèle:Date--Modèle:Date-) et Oliver Heaviside (Modèle:Date--Modèle:Date-), celle de flux d'énergie électromagnétiqueModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn ; puis, en Modèle:Date, Joseph John Thomson (Modèle:Date--Modèle:Date-), celle de densité de moment électromagnétiqueModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. En Modèle:Date, Hermann Minkowski (Modèle:Date--Modèle:Date-) réunit ces quatre notions dans un tenseur : le tenseur énergie-impulsion du champ électromagnétiqueModèle:Sfn. Ce faisant, il introduit la notion de tenseur énergie-impulsionModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Mais il ne l'applique qu'au champ électromagnétiqueModèle:Sfn. C'est à Max von Laue (Modèle:Date--Modèle:Date-) qu'est due Modèle:Incise l'usage général du tenseur pour décrire la dynamique de n'importe quel type de matière ou de champModèle:Sfn : en Modèle:Date, il en donne une décomposition généraleModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

En Modèle:Date-, Max Planck (Modèle:Date--Modèle:Date-) énonce la propriété d'égalité Modèle:Incise du flux d'énergie et de la densité d'impulsionModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn, propriété qu'Henri Poincaré (Modèle:Date--Modèle:Date-) avait établie en Modèle:Date dans le cas particulier du champ électromagnétiqueModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

Définition

• Tenseur énergie-impulsion pour la matière:

On considère que la matière M qui engendre le champ gravitationnel est un système isolé et en mouvement comme un fluide de poussière avec une vitesse:

$u_{\mu }=c\frac{d{x}_{\mu }}{ds}$

Dans ce cas le tenseur énergie-impulsion de la matière $T_{\mu \nu }$ est par définition :

$(a)T_{\mu \nu }=-\frac{1}{\sqrt{|g|}}(\frac{\partial (\mathrm{\Lambda }\sqrt{|g|})}{\partial g^{\mu \nu }}-{\partial }_m\left[\frac{\partial (\mathrm{\Lambda }\sqrt{|g|})}{\partial ({\partial }_m{g}^{\mu \nu })}\right])$

où

$\mathrm{\Lambda }=g^{\mu \nu }{\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }$

${\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }=\frac{1}{2}{\kappa }_0{c}^2{g}_{\mu \nu }-{\kappa }_0{u}_{\mu }{u}_{\nu }$

$g=det(g_{\mu \nu })$

${\kappa }_o$ = une distribution propre de la matière

Voyons que vaut $T_{\mu \nu }$ :

comme ${\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }$ ne contient pas ${\partial }_m{g}^{\mu \nu }$ la relation (a) devient :

$-T_{\mu \nu }\sqrt{|g|}=\frac{\partial (\mathrm{\Lambda }\sqrt{|g|})}{\partial g^{\mu \nu }}$

$=\mathrm{\Lambda }\frac{\partial \sqrt{|g|}}{\partial g^{\mu \nu }}+\sqrt{|g|}\frac{\partial (\mathrm{\Lambda })}{\partial g^{\mu \nu }}$

$=-\frac{1}{2}\mathrm{\Lambda }\sqrt{|g|}{g}^{\mu \nu }+\sqrt{|g|}\frac{\partial (g^{sm}{\mathrm{\Lambda }}_{sm})}{\partial g^{\mu \nu }}$

comme ${\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }$ ne contient pas non plus $g^{\mu \nu }$ on peut sortir ${\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }$

$=-\frac{1}{2}\mathrm{\Lambda }\sqrt{|g|}{g}^{\mu \nu }+\sqrt{|g|}{\mathrm{\Lambda }}_{sm}\frac{\partial g^{sm}}{\partial g^{\mu \nu }}$

parmi les $g^{sm}$ il y a un seul $g^{\mu \nu }$ quand $s=\mu ,m=\nu$

$=-\frac{1}{2}\mathrm{\Lambda }\sqrt{|g|}{g}^{\mu \nu }+\sqrt{|g|}{\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }\frac{\partial g^{\mu \nu }}{\partial g^{\mu \nu }}$

$T_{\mu \nu }\sqrt{|g|}=\frac{1}{2}\mathrm{\Lambda }\sqrt{|g|}{g}^{\mu \nu }-\sqrt{|g|}{\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }$

$T_{\mu \nu }=\frac{1}{2}\mathrm{\Lambda }{g}^{\mu \nu }-{\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }$

or

$\mathrm{\Lambda }=g^{\mu \nu }{\mathrm{\Lambda }}_{\mu \nu }=\frac{1}{2}{\kappa }_0{c}^2{g}^{\mu \nu }{g}_{\mu \nu }-{\kappa }_0{g}^{\mu \nu }{u}_{\mu }{u}_{\nu }$

$\mathrm{\Lambda }=\frac{4}{2}{\kappa }_0{c}^2-{\kappa }_0{u}_{\mu }{u}^{\nu };(g^{\mu \nu }{g}_{\mu \nu }=4)$

$\mathrm{\Lambda }=\frac{4}{2}{\kappa }_0{c}^2-{\kappa }_0{c}^2={\kappa }_0{c}^2$

d'où

$T_{\mu \nu }=\frac{1}{2}{\kappa }_0{c}^2{g}^{\mu \nu }-(\frac{1}{2}{\kappa }_0{c}^2{g}_{\mu \nu }-{\kappa }_0{u}_{\mu }{u}_{\nu })$

soit

$T_{\mu \nu }={\kappa }_0{u}_{\mu }{u}_{\nu }$

La relation (a) nous permet d'injecter $T_{\mu \nu }$ dans l'équation tensorielle d'Einstein, il suffit de prendre l'action de la matière suivante :

$S_{\mathrm{\Lambda }}=\chi \int \mathrm{\Lambda }\sqrt{|g|}{d}^{4}x$

$\chi =\frac{8\pi G}{c^4}$

et la variation $\delta S_{\mathrm{\Lambda }}$ par rapport à $\delta g^{\mu \nu }$ donne:

$\delta S_{\mathrm{\Lambda }}=\chi \int (\frac{\partial (\mathrm{\Lambda }\sqrt{|g|})}{\partial g^{\mu \nu }}-{\partial }_m\left[\frac{\partial (\mathrm{\Lambda }\sqrt{|g|})}{\partial ({\partial }_m{g}^{\mu \nu })}\right])\delta g^{\mu \nu }{d}^{4}x$

c'est-à-dire

$\delta S_{\mathrm{\Lambda }}=\int -\chi T_{\mu \nu }\sqrt{|g|}\delta g^{\mu \nu }{d}^{4}x$

Pour l'action du champ gravitationnel on prend:

$S_R=\int R\sqrt{|g|}d{}^{4}x$

$R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu };R_{\mu \nu }=tenseurdeRicci$

et la variation $\delta S_R$ donne:

$\delta S_R=\int (R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu })\sqrt{|g|}\delta g^{\mu \nu }{d}^{4}x$

Et le principe de moindre action nous donne:

$\delta (S_R+S_{\mathrm{\Lambda }})=0$

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

• Tenseur énergie-impulsion pour le champ électromagnétique sans charge:

En présence du champ électromagnétique $F_{\mu \nu }$

Dans ce cas le tenseur énergie-impulsion du champ EM sans charge $U_{\mu \nu }$ est par définition :

$(b)U_{\mu \nu }=-\frac{1}{\sqrt{|g|}}(\frac{\partial (Q\sqrt{|g|})}{\partial g^{\mu \nu }}-{\partial }_m\left[\frac{\partial (Q\sqrt{|g|})}{\partial ({\partial }_m{g}^{\mu \nu })}\right])$

où

$Q=g^{\mu \nu }{Q}_{\mu \nu }$

$Q_{\mu \nu }=\frac{1}{2{\mu }_0}{g}^{sm}{F}_{\mu s}{F}_{\nu m}$

Maintenant calculons $U_{\mu \nu }$ :

comme $Q_{\mu \nu }$ ne contient pas ${\partial }_m{g}^{\mu \nu }$ la relation (b) devient

$-U_{\mu \nu }\sqrt{|g|}=\frac{\partial (Q\sqrt{|g|})}{\partial g^{\mu \nu }}$

$=Q\frac{\partial \sqrt{|g|}}{\partial g^{\mu \nu }}+\sqrt{|g|}\frac{\partial (g^{ab}{Q}_{ab})}{\partial g^{\mu \nu }}$

comme

$\frac{\partial \sqrt{|g|}}{\partial g^{\mu \nu }}=-\frac{1}{2}\sqrt{|g|}{g}_{\mu \nu }$

et

$Q=g^{ab}{Q}_{ab}=\frac{1}{2{\mu }_0}{g}^{ab}{g}^{sm}{F}_{as}{F}_{bm}=\frac{1}{2{\mu }_0}{F}_{as}{F}^{as}$

d'où

$Q\frac{\partial \sqrt{|g|}}{\partial g^{\mu \nu }}=-\frac{1}{4{\mu }_0}{F}_{as}{F}^{as}\sqrt{|g|}{g}_{\mu \nu }$

d'autre part

$\frac{\partial (g^{ab}{Q}_{ab})}{\partial g^{\mu \nu }}=\frac{1}{2{\mu }_0}{F}_{as}{F}_{bm}\frac{\partial (g^{ab}{g}^{sm})}{\partial g^{\mu \nu }}$

$=\frac{1}{2{\mu }_0}(F_{as}{F}_{bm}{g}^{sm}\frac{\partial (g^{ab})}{\partial g^{\mu \nu }}+F_{as}{F}_{bm}{g}^{ab}\frac{\partial (g^{sm})}{\partial g^{\mu \nu }})$

parmi les $g^{ab}$ il y a un seul $g^{\mu \nu }$ quand $a=\mu ,b=\nu$

et parmi les $g^{sm}$ il y a un seul $g^{\mu \nu }$ quand $s=\mu ,m=\nu$

$=\frac{1}{2{\mu }_0}(F_{\mu s}{F}_{\nu m}{g}^{sm}\frac{\partial (g^{\mu \nu })}{\partial g^{\mu \nu }}+F_{a\mu }{F}_{b\nu }{g}^{ab}\frac{\partial (g^{\mu \nu })}{\partial g^{\mu \nu }})$

$=\frac{1}{2{\mu }_0}(F_{\mu s}{F}_{\nu m}{g}^{sm}+F_{a\mu }{F}_{b\nu }{g}^{ab})$

changeons les indices a=s, b=m, et comme $F_{\mu \nu }$ antisymétrique ça donne

$=\frac{1}{2{\mu }_0}(F_{\mu s}{F}_{\nu m}{g}^{sm}+F_{\mu s}{F}_{\nu m}{g}^{sm})$

$=\frac{1}{{\mu }_0}(F_{\mu s}{F}_{\nu m}{g}^{sm})$

d'où

$U_{\mu \nu }=\frac{1}{4{\mu }_0}{F}_{as}{F}^{as}{g}_{\mu \nu }-\frac{1}{{\mu }_0}(F_{\mu s}{F}_{\nu }^s)$

$U_{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}(\frac{1}{4}{F}_{as}{F}^{as}{g}_{\mu \nu }+F_{\mu s}{F}_{\nu }^s)$

La relation (b) nous permet d'injecter $U_{\mu \nu }$ dans l'équation tensorielle d'Einstein, il suffit de prendre l'action suivante :

$S_Q=\chi \int Q\sqrt{|g|}{d}^{4}x$

et la variation $\delta S_Q$ par rapport à $\delta g^{\mu \nu }$ donne:

$\delta S_Q=\chi \int (\frac{\partial (Q\sqrt{|g|})}{\partial g^{\mu \nu }}-{\partial }_m\left[\frac{\partial (Q\sqrt{|g|})}{\partial ({\partial }_m{g}^{\mu \nu })}\right])\delta g^{\mu \nu }{d}^{4}x$

c'est-à-dire

$\delta S_Q=\int -\chi U_{\mu \nu }\sqrt{|g|}\delta g^{\mu \nu }{d}^{4}x$

Et le principe de moindre action nous donne:

$\delta (S_R+S_{\mathrm{\Lambda }}+S_Q)=0$

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}(T_{\mu \nu }+U_{\mu \nu })$

Remarque les tenseurs d'énergie-impulsion possèdent deux propriétés essentielles :

• Symétrique $T_{\mu \nu }=T_{\nu \mu }$
• Conservatif $({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}_{\nu }^{\mu }=0)$

On peut vérifier que T_μν est conservatif c'est-à-dire :

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}_{\nu }^{\mu }=0$

Comme $T_{\nu }^{\mu }={\kappa }_0{u}_{\nu }{u}^{\mu }$ ça donne

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}_{\nu }^{\mu }={\mathrm{\nabla }}_{\mu }({\kappa }_0{u}_{\nu }{u}^{\mu })={\kappa }_0{u}^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }(u_{\nu })+u_{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }({\kappa }_0{u}^{\mu })$

Or on est dans un système isolé, on a ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }(\kappa u^{\mu })=0$ car il y a la conservation de masse (comme dans le cas de conservation de charge ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }(\rho u^{\mu })=0$)

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }(\kappa u^{\mu })=0$

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }(\kappa u^{\mu })={\mathrm{\nabla }}_{\mu }({\kappa }_0{\gamma }^2{u}^{\mu })={\gamma }^2{\mathrm{\nabla }}_{\mu }({\kappa }_0{u}^{\mu })=0$

il nous reste donc

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}_{\nu }^{\mu }={\kappa }_0{u}^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{u}_{\nu }$

or

$\mathrm{\nabla }{u}_{\nu }={\mathrm{\nabla }}_{\mu }{u}_{\nu }d{x}^{\mu }$

$c\frac{\mathrm{\nabla }{u}_{\nu }}{ds}={\mathrm{\nabla }}_{\mu }{u}_{\nu }c\frac{d{x}^{\mu }}{ds}$

${\kappa }_{0}c\frac{\mathrm{\nabla }{u}_{\nu }}{ds}={\kappa }_0{u}^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{u}_{\nu }$

mais on a

${\kappa }_{0}c\frac{\mathrm{\nabla }{g}_{\mu \nu }{u}^{\mu }}{ds}={\kappa }_0{u}^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{u}_{\nu }$

comme $\mathrm{\nabla }{g}_{\mu \nu }=0(theoremedeRicci)$

on peut sortir $g_{\mu \nu }de\mathrm{\nabla }{d}^{\prime }ou$

${\kappa }_{0}c{g}_{\mu \nu }\frac{\mathrm{\nabla }{u}^{\mu }}{ds}={\kappa }_0{u}^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{u}_{\nu }$

or

$\frac{\mathrm{\nabla }{u}^{\mu }}{ds}=c(\frac{d^2{x}^{\mu }}{d^{2}s}+{\mathrm{\Gamma }}_{hk}^j\frac{d{x}^h}{ds}\frac{d{x}^k}{ds})$

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}_{\nu }^{\mu }={\kappa }_0{c}^2{g}_{\mu \nu }(\frac{d^2{x}^{\mu }}{d^{2}s}+{\mathrm{\Gamma }}_{hk}^j\frac{d{x}^h}{ds}\frac{d{x}^k}{ds})$

Plaçons nous dans un repère normal, les gamma ${\mathrm{\Gamma }}_{hk}^{\mu }$ sont nuls. Et la matière n'a pas d'interaction avec l'extérieur (système isolé) la vitesse des particules est constante donc il n'y a pas d'accélération.

$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d^{2}s}=0$

finalement on a bien : ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}_{\nu }^{\mu }=0$

En présence du champ EM (sans charge) le tenseur énergie-impulsion $U_{\mu \nu }$ du champ EM est aussi conservatif.

Interprétation le tenseur énergie-impulsion pour la matière

Les composants du tenseur énergie-impulsion.

La composante $T^{\mu \nu }$ du tenseur énergie-impulsion est le flux de la ${\mu }^e$ composante de la quadri-impulsionModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

Le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4 × 4 réelle symétrique :

$T_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}{T}_{00}& T_{01}& T_{02}& T_{03}\\ T_{10}& T_{11}& T_{12}& T_{13}\\ T_{20}& T_{21}& T_{22}& T_{23}\\ T_{30}& T_{31}& T_{32}& T_{33}\end{array}\right)$

Ce tenseur dérive des flux du quadri-moment (quadrivecteur impulsion-énergie) à travers des surfaces de coordonnée $x^{\nu }$ constante.

Les composantes du tenseur énergie-impulsion sont les suivantes :

• Modèle:Formule est la densité d'énergieModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Elle est positive ;
• Modèle:Formule est la composante Modèle:Formule du flux d'énergieModèle:Sfn à travers la surface unité suivant Modèle:FormuleModèle:Sfn ;
• Modèle:Formule est la densité de la composante Modèle:Formule de l'impulsion relativisteModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn ;
• Modèle:Formule est la composante Modèle:Formule du flux de la composante Modèle:Formule de l'impulsion relativisteModèle:Sfn. Les composantes Modèle:Formule sont celles du tenseur des contraintes dans l'espaceModèle:Sfn.
• Par symétrie, {T₀₁, T₀₂, T₀₃ }={T₁₀, T₂₀, T₃₀} et sont donc aussi des densités de moments.

La sous-matrice 3 × 3 des composantes spatiale :

$T_{ik}=\left(\begin{array}{ccc}{T}_{11}& T_{12}& T_{13}\\ T_{21}& T_{22}& T_{23}\\ T_{31}& T_{32}& T_{33}\end{array}\right)$

est la matrice des flux de moments. En mécanique des fluides, sa diagonale correspond à la pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels dus à la viscosité.

Propriétés

Le tenseur énergie-impulsion est un quadritenseurModèle:Sfn d'Modèle:NobrModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

Il est symétriqueModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn :

$T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha }$.

Étant symétrique, il ne possède que dix composantes indépendantesModèle:Sfn.

Le tenseur énergie-impulsion est de divergence nulleModèle:Sfn :

${T^{\alpha \beta }}_{;\alpha }=0$.

Dans le cas d'un fluide parfait, où $T^{\alpha \beta }=P{g}^{\alpha \beta }-(\rho +P)u^{\alpha }{u}^{\beta }$, en métrique plate, cette condition de divergence nulle redonne l'équation de conservation de la masse en régime permanent : div (ρv) = 0

Dimension et unité

En analyse dimensionnelle, le tenseur énergie-impulsion est homogène à une densité (volumique) d'énergie, c'est-à-dire au produit d'une densité d'impulsion par une vitesseModèle:Sfn.

Dans le Système international d'unités, son unité est le joule par mètre cube (Modèle:Unité)Modèle:Sfn, unité dérivée de l'énergie volumiqueModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn :

Modèle:Unité = Modèle:Unité.

Exemples

Fluide parfait

Pour un fluide au repos, le tenseur énergie-impulsion se réduit à la matrice diagonale diag(ρc^2,-p,-p,-p) où ρ est la masse volumique et p la pression hydrostatique.

Énergie noire

Placer la constante cosmologique $\mathrm{\Lambda }$ dans le membre de droite de l'équation d'Einstein permet de lui associer un tenseur énergie-impulsionModèle:Sfn :

$T_{\mu \nu }\left(\mathrm{\Lambda }\right)=\frac{c^4\mathrm{\Lambda }}{8\pi G}{g}_{\mu \nu }$.

Cela correspond au tenseur énergie-impulsion d'un fluide parfait dont l'équation d'état estModèle:Sfn :

${\rho }_{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{p_{\mathrm{\Lambda }}}{c^2}=\frac{c^2\mathrm{\Lambda }}{8\pi G}$.

Si la constante cosmologique est positive, alors le fluide associé est caractérisé par une densité d'énergie ${\rho }_{\mathrm{\Lambda }}{c}^2$ positive et une pression $p_{\mathrm{\Lambda }}$ exactement opposéeModèle:Sfn. C'est ce fluide, qui ne correspond à aucune forme connue de matière, qui est appelé l'énergie noireModèle:Sfn.

Relativité générale

Le vide est, en relativité générale, une région de l'espace-temps où le tenseur énergie-impulsion s'annuleModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

Voir aussi

Bibliographie

Publications originales

• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
• Modèle:Article.

Ouvrages d'introduction

• Modèle:Chapitre.
• Modèle:Ouvrage.

Manuels d'enseignement supérieur

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.

Dictionnaires et encyclopédies

• Modèle:Ouvrage.

Divers

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Article Modèle:Commentaire biblio SRL
• Modèle:Ouvrage.

Articles connexes

• Tenseur
• Relativité générale
• Équation d'Einstein

Liens externes

• Modèle:EDAA