Test Z

Modèle:Ébauche Modèle:Infobox Méthode scientifique En statistique, un test Z est un terme générique désignant tout test statistique dans lequel la statistique de test suit une loi normale sous l'hypothèse nulle.

Exemple : test sur la moyenne d'une loi normale où la variance est connue

On considère un n-échantillon $X_1,\dots ,X_n$avec $X_i\sim 𝒩(m,{\sigma }^2)$ et un risque $\alpha$.

• Si l'on teste $H_0:m=m_0$

La statistique de test sous l'hypothèse nulle est :

$Z=\sqrt{n}\frac{{\overline{X}}_n-m_0}{\sigma }$ qui suit une loi normale $𝒩(0,1)$

Si $|z|$ , la réalisation de la statistique de test, est supérieur au quantile d'ordre $1-\frac{\alpha }{2}$ de la loi $𝒩(0,1)$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Si l'on teste $H_0:m⩽m_0$

Si $z$ est supérieur au quantile d'ordre $1-\alpha$ de la loi $𝒩(0,1)$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Si l'on teste $H_0:m⩾m_0$

Si $z$ est inférieur au quantile d'ordre $\alpha$ de la loi $𝒩(0,1)$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

Remarque : si l'on note ${\upsilon }_{\alpha }$ le quantile d'ordre $\alpha$ de la loi $𝒩(0,1)$, alors on a l'égalité ${\upsilon }_{\alpha }=-{\upsilon }_{1-\alpha }$

Exemple : test sur la proportion d'une loi binomiale

On considère un n-échantillon $X_1,\dots ,X_n$ avec $X_i\sim ℬ(p)$

• Si l'on teste $H_0:p=p_0$

La statistique de test sous l'hypothèse nulle est :

$Z=\sqrt{n}\frac{{\overline{X}}_n-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}$converge en loi vers une loi normale $𝒩(0,1)$ quand n tend vers l'infini.

Si $|z|$ , la réalisation de la statistique de test, est supérieur au quantile d'ordre $1-\frac{\alpha }{2}$ de la loi $𝒩(0,1)$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Si l'on teste $H_0:p⩽p_0$

Si $z$ est supérieur au quantile d'ordre $1-\alpha$ de la loi $𝒩(0,1)$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Si l'on teste $H_0:p⩾p_0$

Si $z$ est inférieur au quantile d'ordre $\alpha$ de la loi $𝒩(0,1)$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

Remarque : si l'on note ${\upsilon }_{\alpha }$ le quantile d'ordre $\alpha$ de la loi $𝒩(0,1)$, alors on a l'égalité ${\upsilon }_{\alpha }=-{\upsilon }_{1-\alpha }$