Théorème binomial d'Abel

Modèle:Homon En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le théorème binomial d'Abel, dû à Niels Henrik Abel, est l'identité polynomiale suivante^[1]Modèle:,^[2]Modèle:,^[3], valide pour tout entier naturel $n$ :

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (x - k z)^{k - 1} (y + k z)^{n - k} = \frac{(x + y)^{n}}{x}

.

Quand on l'évalue en $z = 0$ , on retrouve la formule du binôme de Newton, et pour $x = - y$ , on retrouve que la différence finie $Δ_{z}^{n} [y^{n - 1}]$ est nulle^[1].

Variantes

La variante
$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (x + k)^{k - 1} (y - k)^{n - k} = \frac{(x + y)^{n}}{x}$

est le cas particulier $z = - 1$ du théorème.

Réciproquement, quand on remplace $x$ par $- \frac{x}{z}$ et $y$ par $- \frac{y}{z}$ , on retrouve le cas général.
En remplaçant $y$ par $y + n$ , on déduit de cette première variante^[4] :
$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (x + k)^{k - 1} (y + n - k)^{n - k} = \frac{(x + y + n)^{n}}{x}$ .

Réciproquement, la première variante se déduit de la deuxième en remplaçant $y$ par $y - n$ .

On peut de même remplacer $y$ par $y - n z$ dans le théorème.
On peut bien sûr remplacer $z$ par $- z$ dans le théorème. Ceci, précédé d'un remplacement de $y$ par $y - n z$ , donne comme théorème équivalent^[5] :
$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (x + k z)^{k - 1} {(y + (n - k) z)}^{n - k} = \frac{(x + y + n z)^{n}}{x}$ .
En effectuant le changement d'indice $j = n - k$ dans le théorème et ses variantes, on en trouve de nouvelles. Par exemple, la deuxième variante ci-dessus devient^[6] :
$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (x + n - k)^{n - k - 1} (y + k)^{k} = \frac{(x + y + n)^{n}}{x}$ .
Il est également possible de déduire la variante suivante^[7] :
$\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (x + k)^{k - 1} (n - k + y)^{n - k - 1} = \frac{x + y}{x y} (x + y + n)^{n - 1}$ .

Vérifions la première variante dans le cas $n = 2$ .

\begin{matrix} (\binom{2}{0}) x^{- 1} y^{2} + (\binom{2}{1}) (x + 1)^{0} (y - 1)^{1} + (\binom{2}{2}) (x + 2)^{1} (y - 2)^{0} & = \frac{y^{2}}{x} + 2 (y - 1) + x + 2 \\ = \frac{y^{2}}{x} + 2 y + x \\ = \frac{(x + y)^{2}}{x} . \end{matrix}

Considérons les polynômes (à coefficients dans $ℤ [X]$ )

P_{n} (Y) : = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) X (X + k)^{k - 1} (Y - k)^{n - k} et Q_{n} (Y) : = (X + Y)^{n}

et démontrons, par récurrence sur $n$ , que $P_{n} = Q_{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .

On a bien $P_{0} = 1 = Q_{0}$ .
Supposons que pour un certain $n > 0$ , $P_{n - 1} = Q_{n - 1}$ . Alors, les polynômes dérivés de $P_{n}$ et $Q_{n}$ sont égaux car $P'_{n} = n P_{n - 1} = n Q_{n - 1} = Q'_{n}$ .Par ailleurs, $P_{n} (- X) = X Δ_{1}^{n} [X^{n - 1}] = 0 = Q_{n} (- X)$ . Par conséquent, $P_{n} = Q_{n} . ◻$