Théorème d'Erdős (théorie des nombres)

En mathématiques, le théorème d'Erdős est un théorème en théorie des nombres. Il revient à l'important mathématicien hongrois Paul Erdős.

Le théorème est lié à une conjecture formulée en 1849 par le mathématicien français Alphonse de Polignac (1817–1890), énonçant que tous les entiers naturels impairs $n>1$ possèdent une représentation de la forme $n=2^k+p$, où $k$ est un entier naturel et $p$ un nombre premier, ou $p=1$.

Grâce à son théorème, Erdős a réussi à démontrer que la conjecture de Polignac est erronée dans de nombreux cas.

Énoncé

Le théorème peut être énoncé comme suit:

Il existe une suite arithmétique composée d'une infinité d'entiers naturels impairs $n$, ne s'écrivant pas de la forme $n=2^k+p$, où $k$ est un entier naturel, et $p$ un nombre premier ou égal à 1.

Lemme de la démonstration

La démonstration du théorème est basée sur le lemme élémentaire suivant:

Chaque entier naturel $k$ respecte au moins l'une de ces six congruences.

(1) $k\equiv 0mod2$

(2) $k\equiv 0mod3$

(3) $k\equiv 1mod4$

(4) $k\equiv 3mod8$

(5) $k\equiv 7mod12$

(6) $k\equiv 23mod24$

Il s'ensuit que pour $2^k$ l'une des six autres congruences doit être respectée, à l'aide de laquelle on démontre le théorème d'Erdős en utilisant le théorème des restes chinois.

Bibliographie

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