Théorème de Balian-Low

En mathématiques, le théorème de Balian-Low est un résultat d'analyse de Fourier dû aux physiciens Roger Balian et Francis Low, respectivement français et américain.

Théorème de Balian-Low

Soit g une fonction de carré sommable sur la droite réelle. Posons pour tout couple d'entiers m et n :

g_{m, n} (x) = e^{2 π i m x} g (x - n),

Si l'ensemble des ${g_{m, n} : m, n \in ℤ}$ forme une base orthonormée de l'espace de Hilbert $L^{2} (ℝ)$ , alors on a :

\int_{- \infty}^{\infty} x^{2} | g (x) |^{2} d x = \infty

ou bien :

\int_{- \infty}^{\infty} ξ^{2} | \hat{g} (ξ) |^{2} d ξ = \infty

avec $\hat{g}$ la transformée de Fourier de la fonction g.

Énoncé équivalent

Famille de Gabor

On appelle famille de Gabor tout ensemble de la forme :

f_{m, n} (t) = e^{2 π i m F_{0} t} f (t - n T_{0}),

avec f une fonction de carré sommable sur la droite réelle, appelée fonction prototype ; $F_{0}$ et $T_{0}$ deux constantes réelle, et (m, n) un couple d'entiers.

On appelle densité de la famille le nombre réel :

d = \frac{1}{F_{0} T_{0}}