Théorème de Cochran

En mathématiques, plus précisément en théorie des probabilités, le théorème de Cochran concerne la projection d'un vecteur aléatoire gaussien sur des sous-espaces vectoriels orthogonaux de dimensions finies. Il établit la loi et l'indépendance de ces projections et de leurs normes euclidiennes. Ce théorème est utilisé en statistique pour justifier la convergence en loi de tests statistiques et est l'argument clé pour des résultats de base du modèle linéaire.

Énoncé du théorème

La version générale de ce théorème est la suivante :

Une version simplifiée mais équivalente est l'énoncé suivant :

Démonstration

On peut passer de la version simplifiée à la version générale du théorème en appliquant une récurrence sur le nombre de sous-espaces vectoriels (qui interviennent dans l'énoncé) et en effectuant le changement de variable $X^{\prime }=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim 𝒩(0_{{ℝ}^n},{\mathrm{I}\mathrm{d}}_n)$. Il suffit donc de démontrer la version simplifiée.

On note $Y=\left(\begin{array}{c}{P}_{F}X\\ P_{F^{\perp }}X\end{array}\right)=AX$ avec $A=\left(\begin{array}{c}{P}_F\\ P_{F^{\perp }}\end{array}\right)\in {ℳ}_{2n,n}(ℝ)$. Alors $Y\sim 𝒩(0_{{ℝ}^{2n}},A{A}^t)$ et par conséquent, Modèle:Mvar et Modèle:Math sont des vecteurs gaussiens. On a $A{A}^t=\left(\begin{array}{cc}{P}_F& 0\\ 0& P_{F^{\perp }}\end{array}\right)$ . En effet :

• $P_F\circ P_F=P_F$ car $P_F$ est une projection
• $P_{F^{\perp }}\circ P_{F^{\perp }}=P_{F^{\perp }}$car $P_{F^{\perp }}$ est une projection
• $P_F\circ P_{F^{\perp }}=P_{F^{\perp }}\circ P_F=0$ car $F$ et $F^{\perp }$sont orthogonaux.

Ainsi, comme $A{A}^t$ est diagonale par blocs, les vecteurs aléatoires Modèle:Mvar et Modèle:Math sont indépendants et ont pour lois respectives $𝒩(0_{{ℝ}^n},P_F)$ et $𝒩(0_{{ℝ}^n},P_{F^{\perp }})$.

Pour la norme de la projection, il suffit de prendre Modèle:Math une base orthonormée de Modèle:Mvar et Modèle:Math une base orthonormée de Modèle:Math. Alors

$||P_{F}X|{|}^2=\sum _{i=1}^d⟨X,u_i{⟩}^2\text{ et }||P_{F^{\perp }}X|{|}^2=\sum _{i=d+1}^n⟨X,u_i{⟩}^2.$

On écrit $(⟨X,u_i⟩{)}_{1\le i\le n}=U^{t}X$ avec Modèle:Mvar la matrice de passage de la base canonique à la base Modèle:Math. Ainsi $U^{t}X\sim 𝒩(0_{{ℝ}^n},U{\mathrm{I}\mathrm{d}}_n{U}^t)=𝒩(0_{{ℝ}^n},{\mathrm{I}\mathrm{d}}_n)$ car Modèle:Mvar est orthogonale. Donc les variables aléatoires $⟨X,u_i⟩$ sont normales centrées et puisque la matrice de covariance ${\mathrm{I}\mathrm{d}}_n$ est diagonale elles sont indépendantes. Par définition de la loi du Modèle:Math,

$||P_{F}X|{|}^2\sim {\chi }^2(d)\text{ et }||P_{F^{\perp }}X|{|}^2\sim {\chi }^2(n-d)$.

Applications

Estimateur non biaisé de la variance

On se donne un échantillon Modèle:Math de loi normale $𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$. On note la moyenne empirique ${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}(X_1+...+X_n)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ et la variance empirique non biaisée ${\tilde{S}}_n^2=\frac{1}{n-1}((X_1-{\bar{X}}_n{)}^2+...+(X_n-{\bar{X}}_n{)}^2)=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-{\bar{X}}_n{)}^2.$ Alors

$\frac{(n-1)}{{\sigma }^2}{\tilde{S}}_n^2=\frac{1}{{\sigma }^2}((X_1-{\bar{X}}_n{)}^2+...+(X_n-{\bar{X}}_n{)}^2)\sim {\chi }^2(n-1).$

Remarque : on a perdu un degré pour la loi du khi deux.

Test du khi deux

Modèle:Article détaillé Le théorème de Cochran permet d'établir la convergence en loi de certains tests statistiques. C'est le cas du test d'adéquation ou le test d'indépendance. Il est aussi utilisé dans le cadre du modèle linéaire pour obtenir l'indépendance de $\hat{\beta }$ et de ${\hat{\sigma }}^2$ et le fait que $\frac{n-p}{{\sigma }^2}{\hat{\sigma }}^2$ est de loi Modèle:Math où Modèle:Math est le nombre de variables.

Voir aussi

Articles connexes

• Loi normale
• Vecteur aléatoire
• Test du χ²
• Modèle linéaire
• William Cochran

Lien externe

• Le théorème et ses applications