Théorème de Cotes (cercle)

Illustration du théorème de Cotes pour $n=6$. En notant Modèle:Mvar le rayon du cercle, le produit des distances rouges vaut $r^6-O{M}^6$ et le produit des distances vertes vaut $r^6+O{M}^6$

En géométrie plane, le théorème de Cotes sur le cercle établit une relation entre les distances d'un point aux sommets d'un polygone régulier et la distance de ce point au centre du polygone.

Énoncé en 1716 par Roger Cotes, il se démontre en général par l'utilisation des complexes. Il sert à factoriser les polynômes $x^n\pm r^n$ et permet de décomposer des fractions rationnelles en éléments simples. Il permet également de mettre en évidence des formules trigonométriques.

Énoncé

On considère un cercle de centre Modèle:Mvar et de rayon Modèle:Mvar et un entier naturel non nul Modèle:Mvar. On découpe le cercle en Modèle:Math parties égales à l'aide des points ${\left(A_i\right)}_{i\in \{0,\cdots 2n-1\}}$ et on considère un point Modèle:Mvar situé sur la demi-droite Modèle:Math alors

$|O{M}^n-r^n|=M{A}_0\times M{A}_2\times \cdots \times M{A}_{2n-2}$

$O{M}^n+r^n=M{A}_1\times M{A}_3\times \cdots M{A}_{2n-1}$

Par exemple, pour Modèle:Math, ces égalités donnent, pour la première égalité, un cas particulier de la puissance d'un point par rapport à un cercle et pour la seconde égalité le théorème de Pythagore.

Historique

Le théorème est énoncé par Roger Cotes en 1716 et découvert par son cousin Robert Smith dans ses papiers après sa mort. Le but de Cotes était de factoriser des polynômes de la forme Modèle:Math ou Modèle:Math de manière à pouvoir décomposer des fonctions rationnelles en éléments simples et ainsi les intégrer plus facilement. En effet, en notant Modèle:Mvar la distance Modèle:Mvar, grâce à l'axe de symétrie Modèle:Math et en utilisant le théorème d'Al-Kashi, les deux formules conduisent aux formes suivantes :

$x^n-r^n=(x^2-r^2)\prod _{k=1}^{m-1}(x^2-2xr\cos \left(\frac{2k\pi }{n}\right)+r^2)$ si $n=2m$

$x^n-r^n=(x-r)\prod _{k=1}^m(x^2-2xr\cos \left(\frac{2k\pi }{n}\right)+r^2)$ si $n=2m+1$

$x^n+r^n=\prod _{k=0}^{m-1}(x^2-2xr\cos \left(\frac{(2k+1)\pi }{n}\right)+r^2)$ si $n=2m$

$x^n+r^n=(x+r)\prod _{k=0}^{m-1}(x^2-2xr\cos \left(\frac{(2k+1)\pi }{n}\right)+r^2)$ si $n=2m+1$

Une première démonstration par Modèle:Lien en 1722 utilise le développement en série de Modèle:Math et Modèle:Math. Abraham De Moivre en fait une nouvelle démonstration en 1730 en utilisant les complexes et sa formule

$\cos B=\frac{1}{2}(\sqrt[n]{\cos (nB)+i\sin (nB)}+\sqrt[n]{\cos (nB)-i\sin (nB)})$

Il en généralise la formule permettant ainsi une factorisation de Modèle:Math. De telles propriétés sont de fait parfois appelées propriétés de Cotes-De Moivre sur le cercle.

En 1797, John Brinkley en fait une démonstration n'utilisant pas les complexes Modèle:Démonstration

En 1797 et 1806, de manière indépendante, Caspar Wessel et Jean-Robert Argand mettent en place une interprétation géométrique des complexes. La démonstration de ce théorème en est alors simplifiée. Wessel en propose une démonstration simple et Argand une généralisation proche de celle de De Moivre.

Le théorème de Cotes permet également de démontrer des égalités trigonométriquesModèle:,.

Bibliographie

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