Théorème de Hille-Yosida

En théorie des semi-groupes, le théorème de Hille-Yosida est un outil puissant et fondamental reliant les propriétés de dissipation de l'énergie d'un opérateur non borné $A:D(A)\subset X⟶X$ à l'existence et l'unicité et la régularité des solutions d'une équation différentielle (E)

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }(t)=Ax(t)\\ x(0)=x_0\end{array}$.

Ce résultat permet notamment de donner l'existence, l'unicité et la régularité des solutions d'une équation aux dérivées partielles plus efficacement que le théorème de Cauchy-Lipschitz-Picard, plus adapté aux équations différentielles ordinaires.

Einar Hille (1894-1980) à droite

Kōsaku Yosida (1909-1990)

Semi-groupes

La théorie des semi-groupes doit son origine à l'étude du flot d'une équation différentielle ordinaire autonome en dimension finie ainsi que de l'exponentielle d'opérateurs.

Définitions

Modèle:Énoncé La condition 4 est équivalente à ce que $\mathrm{\forall }x\in X,t\mapsto S(t)x\in {𝒞}^0({ℝ}^{+},X)$.

Si on remplace 4 par : $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\Vert S(t)-Id{\Vert }_{ℒ(X)}=0$ on dit que ${(S(t))}_{t\ge 0}$ est uniformément continu.

On retrouve (vaguement) avec cette définition la notion de famille à un paramètre de difféomorphismes bien connue en théorie des équations différentielles ordinaires.

Propriétés des semi-groupes de contraction

Modèle:Théorème Modèle:Théorème On commence à voir apparaître le lien entre le problème (E) et la notion de semi-groupe. Pour préciser, il faut maintenant introduire la notion d'opérateur dissipatif.

Opérateurs dissipatifs

Définitions

• Un opérateur $(A,D(A))$ est dissipatif si $\mathrm{\forall }x\in D(A),\mathrm{\forall }\lambda >0,\Vert x-\lambda Ax\Vert \ge \Vert x\Vert$. Dans le cas où $X=H$ est hilbertien on montre que A est dissipatif si et seulement si $\mathrm{\forall }x\in D(A),\Re 𝔢(⟨Ax,x{⟩}_H)\le 0$.

Remarque: Si $(A,D(A))$ est un opérateur dissipatif alors $\mathrm{\forall }\lambda >0$ l'opérateur $(\mathrm{I}\mathrm{d}-\lambda A)$ est injectif car $(I-\lambda A)x=0\Rightarrow 0\le \Vert x\Vert \le \Vert (I-\lambda A)x\Vert =0\Rightarrow x=0$.

• Si de plus $\mathrm{\forall }\lambda >0$, $\mathrm{I}\mathrm{d}-\lambda A$ est surjectif on dit que $(A,D(A))$ est maximal-dissipatif (ou m-dissipatif). On peut montrer que $\mathrm{\forall }\lambda >0$, $\mathrm{I}\mathrm{d}-\lambda A$ est surjectif si et seulement si

$\mathrm{\exists }{\lambda }_0,\mathrm{I}\mathrm{d}-{\lambda }_{0}A\text{surjectif}$.

En pratique pour montrer qu'un opérateur est m-dissipatif on montre d'abord à la main qu'il est dissipatif et on résout ensuite un problème variationnel pour une valeur ${\lambda }_0$ bien choisie (par exemple avec le théorème de Lax-Milgram, voir exemple de l'équation de la chaleur traité plus bas).

Dans ce cas l'opérateur $(\mathrm{I}\mathrm{d}-\lambda A)$ est un isomorphisme (a priori non continu) de $L(D(A),X)$ et on note $J_{\lambda }=(\mathrm{I}\mathrm{d}-\lambda A{)}^{-1}$, qu'on appelle la résolvante de A. De plus,

$\Vert J_{\lambda }y{\Vert }_X\le \Vert (\mathrm{I}\mathrm{d}-\lambda A)[J_{\lambda }y]{\Vert }_X\le \Vert y{\Vert }_X$, $J_{\lambda }\in ℒ((X,\Vert .{\Vert }_X),(D(A),\Vert .{\Vert }_X))$.

Nous allons voir que cette propriété de continuité peut être améliorée (on va rendre moins fine la topologie sur $(D(A),\Vert .{\Vert }_X)$ en munissant $D(A)$ d'une norme $\Vert .{\Vert }_{D(A)}$).

Propriétés des opérateurs m-dissipatifs

Propriété 1: si $(A,D(A))$ est m-dissipatif alors c'est un opérateur fermé.

Corollaire 1 : pour $x\in D(A)$ on pose $\Vert x{\Vert }_{D(A)}=\Vert x{\Vert }_X+\Vert Ax{\Vert }_X$. Alors $\Vert .{\Vert }_{D(A)}$ est une norme pour laquelle $D(A)$ est un espace de Banach et $A\in ℒ((D(A),\Vert .{\Vert }_A),(X,\Vert .{\Vert }_X))$.

Propriété 2 : si $H$ est un espace hilbertien et $A:D(A)\subset H⟶H$ est m-dissipatif alors il est à domaine dense.

Propriété 3 : réciproquement si $A:D(A)\subset H⟶H$ est de domaine dense, dissipatif, fermé et tel que son adjoint $(A^{*},D(A^{*}))$ est dissipatif alors $(A,D(A))$ est m-dissipatif.

Corollaire 3 : toujours dans le cadre hilbertien

1. si $(A,D(A))$ est dissipatif autoadjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif,
2. si $(A,D(A))$ est anti-adjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif.

Remarque : dans ce dernier résultat, la condition de dissipativité n'est pas nécessaire car $(A,D(A))$ anti-adjoint entraîne que $⟨Ax,x{⟩}_H=0$ donc la dissipativité, voir l'exemple de l'équation des ondes plus bas.

Théorème de Hille-Yosida

Énoncé

Modèle:Théorème Le point 1 du théorème précédent peut être réécrit en termes de résolvante :

1. ' $(A,D(A))$, opérateur fermé à domaine dense, vérifie $(0,+\mathrm{\infty })\subset \rho (A)$ et $\Vert R_{\lambda }{\Vert }_{ℒ(X)}\le \frac{1}{\lambda }$ pour tout $\lambda >0$.

Ainsi sous ces hypothèses et d'après le théorème 2 pour toute condition initiale $x_0\in D(A)$ il existe une unique solution forte $t\mapsto x(t)$ dans ${𝒞}^0({ℝ}^{+},(D(A),\Vert .{\Vert }_{D(A)}))\cap {𝒞}^1({ℝ}^{+*},(X,\Vert .{\Vert }_X))$. Lorsque la condition initiale est prise quelconque dans X on a une solution faible $t\mapsto x(t)=S(t)x$ de classe seulement ${𝒞}^0({ℝ}^{+},(X,\Vert .{\Vert }_X))$ (et on montre que toute solution faible est limite dans $X$ de solutions fortes).

Régularité des solutions

On constate que la régularité de la solution est étroitement liée au choix de la condition initiale en fonction du domaine de A : il est donc naturel de penser qu'en imposant plus de « régularité » à $x_0$ on obtienne plus de régularité sur les solutions. Plus précisément on pose pour $k\ge 2$, $D(A^k)=\{x\in D(A^{k-1}),Ax\in D(A^{k-1})\}$. Alors on a le théorème suivant.

Exemples

L'équation de la chaleur

On se donne $\mathrm{\Omega }$ un ouvert borné de classe ${𝒞}^2$ de ${ℝ}^n$ et on cherche à résoudre l'équation de la chaleur

$\{\begin{array}{c}{\partial }_{t}u(x,t)-\mathrm{\Delta }u(x,t)=0\\ u(x,0)=u_0(x)\end{array}$

sur $(x,t)\in \mathrm{\Omega }\times [0,+\mathrm{\infty }]$ pour une condition initiale donnée.

On peut réécrire cette équation aux dérivées partielles sous la forme d'une équation différentielle ordinaire $y^{\prime }(t)=Ay(t)$ en posant $X=H=L^2(\mathrm{\Omega })$, $y(t)=u(.,t)\in H$ et en définissant $(A,D(A))$ par $D(A)=H^2(\mathrm{\Omega })\cap H_0^1(\mathrm{\Omega })\subset L^2(\mathrm{\Omega })$ et $Ax=\mathrm{\Delta }x$ pour tout $x\in D(A)$. Nous sommes dans le bon cadre pour utiliser la théorie des semi-groupes et le théorème de Hille-Yosida ; reste à montrer que l'opérateur A est m-dissipatif.

Il est bien connu que le laplacien est un opérateur autoadjoint :

$⟨Au,v{⟩}_H=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\mathrm{\Delta }u)v=-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }v=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u(\mathrm{\Delta }v)=⟨u,Av{⟩}_H$

par double intégration par parties, et que $D(A)$ est dense dans $L^2(\mathrm{\Omega })$, il suffit donc de montrer qu'il est dissipatif ou de façon équivalente que $\mathrm{\Re }(⟨Ax,x{⟩}_H)\le 0$. Or tout $x\in D(A)=H^2(\mathrm{\Omega })\cap H_0^1(\mathrm{\Omega })$ est de trace nulle, donc en intégrant par parties $\mathrm{\Re }(⟨Ax,x{⟩}_H)=-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\Vert \mathrm{\nabla }x{\Vert }_{{ℝ}^n}^2\le 0$.

Le corollaire 3 et le théorème de Hille-Yosida permettent enfin de conclure quant à l'existence-unicité et la régularité des solutions. On remarque de plus que

$\frac{d}{dt}(\Vert y(t){\Vert }_H^2)=2⟨y^{\prime }(t),y(t){⟩}_H=2⟨Ay(t),y(t){⟩}_H\le 0$

On retrouve, bien sûr, le côté dissipatif et irréversible de l'équation de la chaleur.

L'équation des ondes

L'équation des ondes homogène se formule dans un domaine $\mathrm{\Omega }$ suffisamment régulier (c'est-à-dire ${𝒞}^2$ en pratique) et sur un intervalle de temps $[0,T)$ (avec $T>0$) selon

$\{\begin{array}{cccc}{u}_{tt}(t,x)-\mathrm{\Delta }u(t,x)& =& 0& \mathrm{\forall }(t,x)\in (0,T)\times \mathrm{\Omega }\\ u(0,x)& =& f(x)& \mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Omega }\\ u_t(0,x)& =& g(x)& \mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Omega }\end{array}$

On se place dans la théorie des semi-groupes en mettant l'équation précédente au premier ordre en temps. On pose alors

$𝒜=\left(\begin{array}{cc}0& I\\ \mathrm{\Delta }& 0\end{array}\right)$, $𝒴=\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$

(avec $v=u^{\prime }$) et

${𝒴}_0=\left(\begin{array}{c}f\\ g\end{array}\right).$

L'équation devient alors

$\{\begin{array}{ccc}{𝒴}^{\prime }(t)& =& 𝒜𝒴(t)\\ 𝒴(0)& =& {𝒴}_0\end{array}$.

Le domaine du Laplacien étant $D(\mathrm{\Delta })=H^2(\mathrm{\Omega })\cap H_0^1(\mathrm{\Omega })$, celui de $𝒜$ est $D(𝒜)=H^2(\mathrm{\Omega })\cap H_0^1(\mathrm{\Omega })\times H_0^1(\mathrm{\Omega })$ sur $H=H_0^1(\mathrm{\Omega })\times L^2(\mathrm{\Omega })$. Les conditions initiales seront alors prises dans $H$. Le produit scalaire dans $H$ est défini pour tout couple $(u,v)$ dans $H$ ($u=(u_1,u_2)$ et $v=(v_1,v_2)$) par $(u,v{)}_H=(\mathrm{\nabla }{u}_1,\mathrm{\nabla }{v}_1{)}_{L^2(\mathrm{\Omega })}+(u_2,v_2{)}_{L^2(\mathrm{\Omega })}.$

Reste à vérifier que nous sommes bien dans les conditions d'application du théorème de Hille-Yosida :

1. $D(𝒜)$ est dense dans $H$.
2. $𝒜$ est fermé.
3. $𝒜$ est dissipatif. Ce point mérite une preuve.