Théorème de Kato-Rellich

Le théorème de Kato-Rellich est un théorème mathématique en analyse fonctionnelle. Il est nommé d'après le mathématicien japonais Tosio Kato et le mathématicien allemand Franz Rellich.

Notation et terminologie

Soit $H$ un espace de Hilbert complexe avec produit scalaire noté $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et norme associée $\Vert \cdot \Vert :=\sqrt{⟨\cdot ,\cdot ⟩}$ . On utiliste la terminologie suivante :

• Un opérateur linéaire dense est une application linéaire $A:𝒟(A)\to H$ où $𝒟(A)\subset H$ est un sous-espace linéaire dense de $H$. Ces opérateurs peuvent être bornés ou non.
• Un opérateur linéaire dense $A:𝒟(A)\to H$ est symétrique si $⟨Ax,y⟩=⟨x,Ay⟩$ pour tout $x,y\in 𝒟(A)$.
• L'opérateur adjoint d'un opérateur linéaire dense $A:𝒟(A)\to H$ est défini comme suit. On définit l'espace $𝒟(A^{\ast })\subset H$ comme l'ensemble des éléments $x\in 𝒟(A)$, pour lesquels la fonctionnelle linéaire $L_x:𝒟(A)\to H$, donnée par $L_x(y):=⟨x,Ay⟩$ pour $y\in 𝒟(A)$ est une fonction continue. Comme le domaine de définition $𝒟(A)$ est dense, cette fonctionnelle se prolonge à $H$. Il en résulte, par le théorèmme de Fréchet-Riesz qu'il existe un élément unique $z\in H$ avec $L_x(y)=⟨z,y⟩$. On pose $A^{\ast }x:=z$ et on obtient insi un opérateur $A^{\ast }:𝒟(A^{\ast })\to H$ avec la propriété $⟨A^{\ast }x,y⟩=⟨x,Ay⟩$ pour tout $x\in 𝒟(A^{\ast })$ et pour tout $y\in 𝒟(A)$.
• Un opérateur linéaire dense $A:𝒟(A)\to H$ est auto-adjoint si et $A$ est symétrique et $𝒟(A^{\ast })=𝒟(A)$.

Formulation du théorème

Le thèorème utilise la notion d'opérateur relativement borné qui est défini comme suit :

Soient $A:𝒟(A)\to H$ et $B:𝒟(B)\to H$ deux opérateurs linéaires denses. On dit que $B$ est relativement limité par rapport à $A$ ou plus simplement que $B$ est $A$-limité si $𝒟(A)\subset 𝒟(B)$ et s'il existe deux nombres réels positifs $a$ et $b$ tels que l’ inégalité suivante est satisfaite pour tous $x\in 𝒟(A)$  :

$\Vert Bx\Vert \le a\Vert Ax\Vert +b\Vert x\Vert$

Le plus petit $a$, pour lequel un nombre $b$ existe qui satisfait l’inégalité ci-dessus s’applique pour tout $x\in 𝒟(A)$, est appelée la limite relative de $B$ par rapport à $A$ .

Preuve du théorème

L'opérateur $A+B:𝒟(A)\to H$ est évidemment bien défini parce que $𝒟(A)\subset 𝒟(B)$. De plus, il est symétrique par hypothèse. Or un opérateur symétrique $T:𝒟(T)\to H$ est auto-adjoint si et seulement s'il existe un $\mu >0$ pour lequel $\mathrm{I}\mathrm{m}(T\pm i\mu )=H$, où $\mathrm{I}\mathrm{m}(T)$ désigne l'image de $T$. Il suffit donc de montrer qu'il existe un $\mu >0$ pour lequel on a $\mathrm{I}\mathrm{m}(A+B\pm i\mu )=H$.

Soit $\mu \in ℝ$. L'idée de la preuve du théorème de Kato-Rellich est d'exprimer l'opérateur $A+B+i\mu$ sous la forme

$A+B+i\mu =(1+B(A+i\mu {)}^{-1})(A+i\mu )$ .

Ceci est possible en raison de l'hypothèse que $A:𝒟(A)\to H$ est auto-adjoint et donc que $(A+i\mu {)}^{-1}$ existe. Comme de plus $\mathrm{I}\mathrm{m}(A+i\mu )=H$, il suffit de montrer que $(1+B(A+i\mu {)}^{-1})$ possède un opérateur inverse borné.

Par hypothèse, on a, pour tout $x\in H$, l'inégalité

$\Vert B(A+i\mu {)}^{-1}x\Vert \le a\Vert A(A+i\mu {)}^{-1}x\Vert +b\Vert (A+i\mu {)}^{-1}x\Vert$ .

De plus, pour tout $y\in 𝒟(A)$, on a l'égalité $\Vert (A+i\mu )y{\Vert }^2=\Vert Ay{\Vert }^2+{\mu }^2\Vert y{\Vert }^2$ et donc, pour $y=(A+i\mu {)}^{-1}x$,

$\Vert A(A+i\mu {)}^{-1}x\Vert \le \Vert x\Vert$ et $\Vert (A+i\mu {)}^{-1}x\Vert \le \frac{1}{|\mu |}\Vert x\Vert$ .

En combinant ces inégalités, on a pour tout $x\in H$ l'inégalité

$\Vert B(A+i\mu {)}^{-1}x\Vert \le (a+\frac{b}{|\mu |})\Vert x\Vert$ .

Comme $a<1$, on peut choisir, $\mu$ suffisamment grand pour que $(a+\frac{b}{|\mu |})<1$, ce qui donne l'inégalité

$\Vert B(A+i\mu {)}^{-1}x\Vert <1$

pour tout $x\in H$. Il s'ensuit que $(1+B(A+i\mu {)}^{-1})$ est inversible avec un opérateur inverse borné. Ceci prouve que $\mathrm{I}\mathrm{m}(A+B+i\mu )=H$.

Applications

Le théorème de Kato-Rellich est utilisé, par exemple, en mécanique quantique :

Soient $V=V_1+V_2$ avec $V_1\in L^2({ℝ}^3)$ et $V_2\in L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^3)$ . Alors on peut montrer, en utilisant le théorème de Kato-Rellich, que l'opérateur hamiltonien $H:=-\mathrm{\Delta }+V$ est auto-adjoint à l'opérateur laplacien $\mathrm{\Delta }$ si l'on prend comme domaine de définition de $H^2({ℝ}^3)$ l'espace de Sobolev.

Bibliographie

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