Théorème de Noether (mathématiques)

Modèle:Ébauche Modèle:Voir homonymes Le théorème de Noether, de Emmy Noether (1918), est un théorème de géométrie symplectique.

Principe

Soit M une variété différentielle de dimension $n$. Son fibré tangent TM est l'ensemble des couples $(x,\dot{x})$ avec x un point de M et $\dot{x}$ un vecteur tangent à M en x. On prend alors $L:TM\to ℝ$ une fonction appelée lagrangien (indépendant du temps cinématique, c'est-à-dire du paramètre cinématique intervenant dans $\dot{x}$). On note $p_{\mu }(x,\dot{x})=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\in T_x^{*}M$ le moment conjugué de Lagrange, une forme linéaire sur l'espace tangent à M en x.

Une symétrie du lagrangien $L$ est un difféomorphisme $f:M\to M$ tel que l'on ait $L\circ \mathrm{d}f=L$ avec $\mathrm{d}f=(f,f^{\prime })$, le couple formé par f et sa dérivée. Les symétries de L forment un groupe pour la composition.

Une symétrie infinitésimale du lagrangien $L$ est un champ de vecteurs V sur M tel que le groupe de Lie à un paramètre engendré par le flot de V, $s\mapsto {\mathrm{\Phi }}_s^V(\cdot )$, soit un sous-groupe des symétries de $L$.

Le théorème de Noether associe à toute symétrie infinitésimale de $L$ une intégrale première de ses équations d'Euler-Lagrange.

Applications

Mouvement à force centrale

Un mouvement à force centrale est le mouvement d'un point matériel de masse $m$ dans un champ de forces dérivant d'un potentiel $V=V(r)$ ne dépendant que du rayon $r$. C'est le problème variationnel associé au lagrangien $L$ sur ${ℝ}^3$ :

$L(w)=\frac{m}{2}\Vert w{\Vert }^2-V(r)$

Ce lagrangien est invariant par toutes les rotations dont l'axe passe par l'origine. Un groupe à un paramètre de rotations d'axe $\mathrm{D}$ est engendré par un champ de vecteurs de la forme :

$V(q)=\mathrm{\Omega }\wedge q$

où $\wedge$ désigne le produit vectoriel usuel. Par le théorème de Noether, la fonction :

$G_{\mathrm{\Omega }}(q,w)=m\dot{q}\cdot [\mathrm{\Omega }\wedge q]=-\mathrm{\Omega }\cdot m(q\wedge \dot{q})$

est une intégrale première du mouvement. En faisant varier le vecteur rotation $\mathrm{\Omega }$, on conclut que le vecteur suivant, appelé moment cinétique, est constant :

$\mu =m(q\wedge \dot{q})$

Articles connexes

• Théorème de Noether (physique)
• Calcul des variations

Source

Pierre Pansu, Cours de Géométrie différentielle, niveau Modèle:Nobr ; Modèle:Pdf