Théorème de Sophie Germain

En théorie des nombres, Sophie Germain a démontré le théorème suivant, au cours de ses recherches sur le dernier théorème de Fermat.

Remarques

• A fortiori, l'un au moins des trois est divisible par p (c'est ce qu'on appelle le « premier cas » du dernier théorème de Fermat). C'est le plus souvent sous cette forme amoindrie et parfois pire que le théorème de Sophie Germain est énoncé.
• Un « auxiliaire » de p est nécessairement de la forme 2Np + 1 pour un certain entier N.
• Si p est un nombre premier de Sophie Germain, l'existence d'un θ auxiliaire est assurée : il suffit de prendre θ = 2p + 1. Mais le théorème de Sophie Germain s'applique à d'autres situations (par exemple : p = 3, θ = 13). Elle exhiba un tel θ pour tout premier p < 100, et calcula même, pour ces p, tous les entiers N ≤ 10 pour lesquels 2Np + 1 est un auxiliaire.
• Sophie Germain démontra ce théorème comme corollaire d'un autre de ses théorèmes, moins connu : sous les mêmes hypothèses, l'un au moins des trois entiers x, y, z est divisible par θ. Ce résultat était bien plus crucial dans son approche du dernier théorème de Fermat : elle espérait en effet parvenir à montrer que pour une infinité de nombres premiers p, peut-être même tous sauf un nombre fini, le nombre d'auxiliaires θ est infini. Elle avait démontré que 3 n'a que deux auxiliaires : 7 et 13. Mais son « grand plan » était voué à l'échec : en 1829, Libri démontra que 3 et 4 n'ont qu'un nombre fini d'auxiliaires et affirma la même chose pour tout nombre premier plus grand, ce que Dickson confirma en 1909.
• L'hypothèse 1 équivaut àModèle:, l'hypothèse 1' suivante : si xModèle:Exp + yModèle:Exp ≡ zModèle:Exp mod θ alors l'un au moins des trois entiers x, y, z est divisible par θ.

Démonstration

Supposons que xModèle:Exp + yModèle:Exp = zModèle:Exp. Notons a = x/d, b = y/d et c = –z/d où d est le PGCD de x, y et z. Alors, aModèle:Exp + bModèle:Exp + cModèle:Exp = 0 et a, b, c sont premiers entre eux deux à deux. Les entiers

$A:=\sum _{k=0}^{p-1}{b}^{p-1-k}(-c{)}^k,B:=\sum _{k=0}^{p-1}{c}^{p-1-k}(-a{)}^k,C:=\sum _{k=0}^{p-1}{a}^{p-1-k}(-b{)}^k$

vérifient les identités remarquables :

$(-a{)}^p=(b+c)A(-b{)}^p=(c+a)B,(-c{)}^p=(a+b)C.$

• p est le seul facteur premier possible commun à b + c et A (et de même pour c + a et B et pour a + b et C) :Modèle:Retrait
• a, b ou c est divisible par p :Modèle:Retrait

$b+c={\alpha }^p,$	$A=\alpha {\text{'}}^p,$	$-a=\alpha {\alpha }^{\prime },$
$c+a={\beta }^p,$	$B=\beta {\text{'}}^p,$	$-b=\beta {\beta }^{\prime },$
$a+b={\gamma }^p,$	$C=\gamma {\text{'}}^p,$	$-c=\gamma {\gamma }^{\prime }.$

D'après l'hypothèse 1' (équivalente à 1), on peut supposer par exemple que c est divisible par θ. Alors, θ ne divise ni α ni β (diviseurs respectifs de a et b donc premiers avec c) mais il divise 2c = αModèle:Exp + βModèle:Exp – γModèle:Exp donc, à nouveau d'après l'hypothèse 1', il divise γ. Donc mod θ, a + b = γModèle:Exp ≡ 0 et γModèle:' Modèle:Exp = C ≡ paModèle:Exp ≡ pβModèle:Exp si bien que p est une puissance p-ième, ce qui contredit l'hypothèse 2.

• a, b ou c est même divisible par pModèle:2 :Modèle:Retrait