Nombre premier de Sophie Germain

Un nombre premier G est appelé nombre premier de Sophie Germain si 2G + 1 est aussi un nombre premier, qui est alors appelé nombre premier sûr et noté S dans ce qui suit.

Un corollaire du théorème de Sophie Germain est que pour ces nombres premiers, un cas particulier du dernier théorème de Fermat (le Modèle:Citation) est vrai, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'entiers x, y, z tous trois non divisibles par G tels que Modèle:Nobr

Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain ; cependant, comme pour la conjecture des nombres premiers jumeaux, cela n'a pour le moment pas été démontré.

Listes de nombres premiers de Sophie Germain

Les quarante-cinq premiers nombres premiers de Sophie Germain sont (voir Modèle:OEIS) :

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1 013, 1 019, 1 031, 1 049, 1 103, 1 223, 1 229 et 1 289.

Ils sont classés dans les deux tableaux ci-dessous, ordonnés sous la forme GModèle:Ind inscrite en gras sous leur occurrence dans la liste complète des nombres premiers p, associés à leur nombre premier sûr noté SModèle:Ind = 2GModèle:Ind + 1 dans la case immédiatement au-dessous.

Modèle:Démonstration/début Modèle:TI Les seize nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et 127 sont présentés dans le tableau 1 ci-dessous. À partir de 131, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.

Tableau 1 : Tous les nombres premiers p compris entre 0 et 127, dont les premiers de Sophie Germain G ; leurs premiers sûrs résultants S = 2G + 1.

décades d'entiers n	première décade	deuxième décade	troisième décade	quatrième décade	cinquième décade	sixième décade	septième décade	huitième décade	neuvième décade	dixième décade	onzième décade	douzième décade	treizième décade
entiers n =	00 à 09	10 à 19	20 à 29	30 à 39	40 à 49	50 à 59	60 à 69	70 à 79	80 à 89	90 à 99	100 à 109	110 à 119	120 à 127
premiers dont GModèle:Ind et SModèle:Ind	-	11 GModèle:Ind et SModèle:Ind	23 GModèle:Ind et SModèle:Ind	31	41 GModèle:Ind	53 GModèle:Ind	61	71	83 GModèle:Ind et SModèle:Ind	97	101	113 GModèle:Ind	127
S	-	SModèle:Ind=23	SModèle:Ind=47	-	SModèle:Ind=83	SModèle:Ind=107	-	-	SModèle:Ind=167	-	-	SModèle:Ind=227	-
premiers dont GModèle:Ind et SModèle:Ind	-	13	29 GModèle:Ind	37	43	59 SModèle:Ind	67	73	89 GModèle:Ind		103		(131) (GModèle:Ind)
S	-	-	SModèle:Ind=59	-	-	-	-	-	SModèle:Ind=179		-		(SModèle:Ind=263)
premiers dont GModèle:Ind et SModèle:Ind	2 GModèle:Ind	17			47 SModèle:Ind			79			107 SModèle:Ind		(173) (GModèle:Ind)
S	SModèle:Ind=5	-			-			-			-		(SModèle:Ind=347)
premiers dont GModèle:Ind et SModèle:Ind	3 GModèle:Ind	19									109		(179) (SModèle:Ind et GModèle:Ind)
S	SModèle:Ind=7	-									-		(SModèle:Ind=359)
premiers dont GModèle:Ind et SModèle:Ind	5 GModèle:Ind et SModèle:Ind												(191) (GModèle:Ind)
S	SModèle:Ind=11												(SModèle:Ind=383)
premiers dont GModèle:Ind et SModèle:Ind	7 SModèle:Ind												(233) (GModèle:Ind)
S	-												(SModèle:Ind=467)
sous-totaux des p, GModèle:Ind, SModèle:Ind, par décade	4 p 3 G 2 S	4 p 1 G 1 S	2 p 2 G 1 S	2 p 0 G 0 S	3 p 1 G 1 S	2 p 1 G 1 S	2 p 0 G 0 S	3 p 0 G 0 S	2 p 2 G 1 S	1 p 0 G 0 S	4 p 0 G 1 S	1 p 1 G 0 S	1 p 0 G 0 S
Totaux et ratios A	- A1 - 25 soit 25 % de Modèle:Souligner p parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99, à comparer à : 10 soit 10 % de Modèle:Souligner G parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99. 7 soit 7 % de Modèle:Souligner S parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99. - A2 - 46 soit 23 % de Modèle:Souligner « p » parmi les 200 entiers n compris entre 0 et 199, à comparer à : 15 soit 7,5 % de Modèle:Souligner G parmi les 200 entiers « n » compris entre 0 et 199. 10 soit 5 % de Modèle:Souligner S dilués parmi les 200 entiers n compris entre 0 et 199.
Totaux et ratios B	- B1 - 31 soit 24 % de Modèle:Souligner p parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127, à comparer à : 11 soit 8,6 % de Modèle:Souligner G parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127. 8 soit 6,25 % de Modèle:Souligner S parmi les 128 entiers « n » compris entre 0 et 127. - B2 - 54 soit 21 % de Modèle:Souligner p parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255, à comparer à : 18 soit 7 % de Modèle:Souligner « G » parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255. 11 soit 4,3 % de Modèle:Souligner S dilués parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255.

Modèle:Références Modèle:Démonstration/fin Modèle:Démonstration/début Modèle:TI Les nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et 1 023 sont présentés dans le tableau 2 ci-dessous. À partir de 1 031, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.

Tableau 2 : Tous les nombres premiers p compris entre 0 et 1023, dont les premiers de Sophie Germain G ; leurs premiers sûrs résultants S = 2G + 1.

centaines d'entiers n		premier cent			deuxième cent			troisième cent		quatrième cent		cinquième cent		sixième cent		septième cent		huitième cent		neuvième cent		dixième cent		+ 23 → 1023
Typ	Qté	00	10	20	00	10	20	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00
p GModèle:Ind SModèle:Ind	01	2 GModèle:Ind	31	73	101	151	199	211	269	307	367	401	461	503 SModèle:Ind	577	601	659 GModèle:Ind	701	769	809 GModèle:Ind	863 SModèle:Ind	907	977	1009
S		SModèle:Ind=5	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	SModèle:Ind=1319	-	-	SModèle:Ind=1619	-	-	-	-
p GModèle:Ind SModèle:Ind	02	3 GModèle:Ind	37	79	103	157		223	271	311	373	409	463	509 GModèle:Ind	587 SModèle:Ind	607	661	709	773	811	877	911 GModèle:Ind	983 SModèle:Ind	1013 GModèle:Ind
S		SModèle:Ind=7	-	-	-	-		-	-	-	-	-	-	SModèle:Ind=1019	-	-	-	-	-	-	-	SModèle:Ind=1823	-	SModèle:Ind=2027
p GModèle:Ind SModèle:Ind	03	5 GModèle:Ind SModèle:Ind	41 GModèle:Ind	83 GModèle:Ind SModèle:Ind	107 SModèle:Ind	163		227 SModèle:Ind	277	313	379	419 GModèle:Ind	467 SModèle:Ind	521	593 GModèle:Ind	613	673	719 GModèle:Ind SModèle:Ind	787	821	881	919	991	1019 GModèle:Ind SModèle:Ind
S		SModèle:Ind=11	SModèle:Ind=83	SModèle:Ind=167	-	-		-	-	-	-	SModèle:Ind=839	-	-	SModèle:Ind=1187	-	-	SModèle:Ind=1439	-	-	-	-	-	SModèle:Ind=2039
p GModèle:Ind SModèle:Ind	04	7 SModèle:Ind	43	89 GModèle:Ind	109	167 SModèle:Ind		229	281 GModèle:Ind	317	383 SModèle:Ind	421	479 SModèle:Ind	523	599	617	677	727	797	823	883	929	997	1021
S		-	-	SModèle:Ind=179	-	-		-	SModèle:Ind=563	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
p GModèle:Ind SModèle:Ind	05	11 GModèle:Ind SModèle:Ind	47 SModèle:Ind	97	113 GModèle:Ind	173 GModèle:Ind		233 GModèle:Ind	283	331	389	431 GModèle:Ind	487	541		619	683 GModèle:Ind	733		827	887 SModèle:Ind	937		(1031) (GModèle:Ind)
S		SModèle:Ind=23	-	-	SModèle:Ind=227	SModèle:Ind=347		SModèle:Ind=467	-	-	-	SModèle:Ind=863	-	-		-	SModèle:Ind=1367	-		-	-	-		(SModèle:Ind= 2063)
p GModèle:Ind SModèle:Ind	06	13	53 GModèle:Ind		127	179 GModèle:Ind SModèle:Ind		239 GModèle:Ind	293 GModèle:Ind	337	397	433	491 GModèle:Ind	547		631	691	739		829		941		(1049) (GModèle:Ind)
S		-	SModèle:Ind=107		-	SModèle:Ind=359		SModèle:Ind=479	SModèle:Ind=587	-	-	-	SModèle:Ind=983	-		-	-	-		-		-		(SModèle:Ind= 2099)
p GModèle:Ind SModèle:Ind	07	17	59 SModèle:Ind		131 GModèle:Ind	181		241		347 SModèle:Ind		439	499	557		641 GModèle:Ind		743 GModèle:Ind		839 SModèle:Ind		947		(1103) (GModèle:Ind)
S		-	-		SModèle:Ind=263	-		-		-		-	-	-		SModèle:Ind=1283		SModèle:Ind=1487		-		-		(SModèle:Ind= 2207)
p GModèle:Ind SModèle:Ind	08	19	61		137	191 GModèle:Ind		251 GModèle:Ind		349		443 GModèle:Ind		563 SModèle:Ind		643		751		853		953 GModèle:Ind		(1223) (GModèle:Ind)
S		-	-		-	SModèle:Ind=383		SModèle:Ind=503		-		SModèle:Ind=887		-		-		-		-		SModèle:Ind=1907		(SModèle:Ind= 2447)
p GModèle:Ind SModèle:Ind	09	23 GModèle:Ind SModèle:Ind	67		139	193		257		353		449		569		647		757		857		967		(1229) (GModèle:Ind)
S		SModèle:Ind=47	-		-	-		-		-		-		-		-		-		-		-		(SModèle:Ind= 2459)
p GModèle:Ind SModèle:Ind	10	29 GModèle:Ind	71		149	197		263 SModèle:Ind		359 GModèle:Ind SModèle:Ind		457		571		653 GModèle:Ind		761 GModèle:Ind		859		971		(1289) (GModèle:Ind)
S		SModèle:Ind=59	-		-	-		-		SModèle:Ind=759		-		-		SModèle:Ind=1307		SModèle:Ind=1523		-		-		(SModèle:Ind= 2579)
ss-totaux et ratios par cent		25 p → 25 % 10 G → 10 % 7 S → 7 %			21 p → 21 % 5 G → 5 % 3 S → 3 %			16 p → 16 % 5 G → 5 % 2 S → 2 %		16 p → 16 % 1 G → 1 % 3 S → 3 %		17 p → 17 % 4 G → 4 % 2 S → 2 %		14 p → 14 % 2 G → 2 % 3 S → 3 %		16 p → 16 % 4 G → 4 % 0 S → 0 %		14 p → 14 % 3 G → 3 % 1 S → 1 %		15 p → 15 % 1 G → 1 % 3 S → 3 %		14 p → 14 % 2 G → 2 % 1 S → 1 %		4 p 2 G 1 S
Totaux et ratios A		- A1 - 168 soit 16,8 % de Modèle:Souligner p parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999, à comparer à : 37 soit 3,70 % de Modèle:Souligner G parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999. 25 soit 2,50 % de Modèle:Souligner S parmi les 1000 entiers n compris entre 0 et 999. - A2 - 303 soit 15,2 % de Modèle:Souligner p parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999, à comparer à : ? soit ? % de Modèle:Souligner G parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999. 37 soit 1,85 % de Modèle:Souligner S dilués parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999.
Totaux et ratios B		- B1 - 172 soit 16,8 % de Modèle:Souligner p parmi les 1 024 entiers n compris entre 0 et 1 023, à comparer à : 39 soit 3,81 % de Modèle:Souligner G parmi les 1024 entiers n compris entre 0 et 1023. 26 soit 2,54 % de Modèle:Souligner S parmi les 1024 entiers n compris entre 0 et 1 023. - B2 - 309 soit 15,1 % de Modèle:Souligner p parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047, à comparer à : ? soit ? % de Modèle:Souligner G parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047. 39 soit 1,90 % de Modèle:Souligner S dilués parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047.

Quantité de nombres premiers de Sophie Germain

Une estimation heuristique pour la quantité de nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à n est 2CModèle:Ind n / (ln n)² où CModèle:Ind est la constante des nombres premiers jumeaux, approximativement égale à 0,660161. Pour n = 10Modèle:4, cette estimation prédit 156 nombres premiers de Sophie Germain, qui est de 20 % d'erreur comparé à la valeur exacte de 190. Pour n = 10Modèle:7, l'estimation prédit 50 822, qui est d'un écart de 10 % par rapport à la valeur exacte de 56 032.

Chaîne de Cunningham

Modèle:Article détaillé Une suite {p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...} de nombres premiers de Sophie Germain est appelée une chaîne de Cunningham de première espèce. Chaque terme d'une telle suite, à l'exception du premier et du dernier, est à la fois un nombre premier de Sophie Germain et un nombre premier sûr. Le premier est un nombre de Sophie Germain, le dernier un nombre premier sûr.

Exemple d'application

Modèle:... Soit $p$ un nombre premier de la forme $p=4k+3$. Alors $p$ est un nombre premier de Sophie Germain si et seulement si le nombre de Mersenne $M_p=2^p-1$ est un nombre composé dont $2p+1$ est un diviseur. Ce théorème dû à Euler peut être utilisé comme test de primalité; par exemple 83 est premier (et 83 = 4 × 20 + 3) de même que 167 = 2 × 83 + 1. Par conséquent $M_{83}=2^{83}-1$ est divisible par 167 et n'est donc pas premier.

Voir aussi

Article connexe

Conjecture de Dickson