Théorème de densité de Tchebotariov

En théorie algébrique des nombres, le théorème de Tchebotariov, dû à Nikolaï Tchebotariov et habituellement écrit théorème de Chebotarev, précise le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur l'infinitude des nombres premiers en progression arithmétique : il affirme que, si a, q ≥ 1 sont deux entiers premiers entre eux, la densité asymptotique de l'ensemble des nombres premiers congrus à a modulo q vaut 1/φ(q).

Énoncé

Le cadre du théorème de Tchebotariov est le suivant : on considère une extension galoisienne $L/K$ de corps de nombres, de groupe de Galois $G$. Pour tout idéal entier $𝔞$ de $K$, on note $𝒩(𝔞)=|{𝒪}_K/𝔞|$ la norme de $𝔞$.

Considérons un idéal premier $𝔭$ de $K$ non ramifié dans $L$, et soit $𝔓\mid 𝔭$ un idéal premier de $L$ au-dessus de $𝔭$.

On montre qu'il existe un unique élément ${\sigma }_{𝔓}\in G$ caractérisé par la relation suivante : pour tout élément $\alpha \in {𝒪}_L$, on a

${\sigma }_{𝔓}(\alpha )\equiv {\alpha }^{𝒩(𝔭)}(\mathrm{mod}𝔓).$

Si $G$ n'est pas abélien, cela dépend du choix de $𝔓$ : en effet, si ${𝔓}^{\prime }$ est un autre idéal premier au-dessus de $𝔭$, il existe un élément $\sigma \in G$ tel que ${𝔓}^{\prime }=\sigma (𝔓)$, et alors ${\sigma }_{{𝔓}^{\prime }}$ et ${\sigma }_{𝔓}$ sont conjugués dans $G$.

On considère alors la classe de conjugaison $\{{\sigma }_{𝔓},𝔓\mid 𝔭\}$, que l'on nomme symbole de Frobenius de $𝔭$ dans $L/K$, encore noté (par abus) ${\sigma }_{𝔭}$. Remarquons que, si $G$ est abélien, cette classe est réduite à un seul élément.

Nous pouvons alors énoncer le théorème que Tchebotariov démontra dans sa thèse en 1922 :

La version quantitative du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique en découle, en appliquant le théorème précédent à une extension cyclotomique de ℚ.