Théorème de différentiation de Fubini

Modèle:Confusion En mathématiques, le théorème de différentiation de Fubini est un résultat d'analyse réelle, attribué à Guido Fubini, selon lequel toute série de fonctions croissantes qui converge est presque partout dérivable terme à terme.

Énoncé

Si, pour tout entier naturel n,

$f_n:[a,b]\to ℝ$

est une fonction croissante et si

$\mathrm{\forall }x\in [a,b],f(x):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)\in ℝ$

alors, pour presque tout Modèle:Math,

$f^{\prime }(x)=\sum _{n\in \mathbb{N}}{f_n}^{\prime }(x).$

Démonstration

On utilise ici que toute fonction monotone est dérivable presque partout.

OnModèle:, se ramène sans peine au cas où toutes les Modèle:Math sont positives (en retranchant à chacune sa valeur en Modèle:Math) et où

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\sum _{k>n}{f}_k(b)\le 2^{-n}$

(en regroupant des termes consécutifs de la série).

La somme Modèle:Math des fonctions croissantes Modèle:Math définies par

$g_n(x)=\sum _{k>n}{f}_k(x)$

est alors finie (positive et majorée par 2) et l'on a, presque partout :

$\sum _{n\in \mathbb{N}}g{\text{'}}_n(x)\le g^{\prime }(x)<+\mathrm{\infty }\text{ donc }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f^{\prime }(x)-\sum _{k\le n}f{\text{'}}_k(x))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }g{\text{'}}_n(x)=0.$

Cas d'une fonction de saut

Le cas particulier suivant n'utilise pas le théorème de dérivabilité presque partout des fonctions monotones et peut, au contraire, servir de lemme pour ce théorèmeModèle:,. Il s'agit du cas où Modèle:Math est une « fonction de saut », c'est-à-dire où chaque Modèle:Math est de la forme :

• $f_n(x)=0$ si $x<a_n,$
• $f_n(x)=b_n$ si $x>a_n$ et
• $0\le f_n(a_n)\le b_n.$

Avec les notations de la section précédente, on déduit en effet directement de l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood que

$\mathrm{\forall }c>0,\lambda ([\bar{D}{g}_n\ge c])\le 2^{1-n}/c$

où Modèle:Surligner désigne la dérivée supérieure de Dini (bilatérale). Or, presque partout,

$\bar{D}{g}_n=\bar{D}(f-\sum _{k\le n}{f}_k)=\bar{D}f-\sum _{k\le n}f{\text{'}}_k=\bar{D}f.$

Par conséquent,

$\mathrm{\forall }c>0,\lambda ([\bar{D}f\ge c])\le \underset{n\in \mathbb{N}}{\inf }{2}^{1-n}/c=0\text{ donc }{f}^{\prime }=0\lambda \text{-p.p.}$