Théorème de l'image ouverte

Modèle:Confusion En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, le théorème de l'image ouverte affirme que les fonctions holomorphes non constantes sont ouvertes.

Énoncé

Soit U un ouvert connexe du plan complexe C et f : U → C une fonction holomorphe non constante ; alors f est une application ouverte, c'est-à-dire qu'elle envoie les sous-ensembles ouverts de U vers des ouverts de C.

Démonstration

Les points bleus représentent les zéros de g(z). Les pics noirs sont les pôles. La ligne pointillée est la frontière de l'ouvert U (remarquez que tous les pôles sont extérieurs à U). Le petit cercle rouge est la frontière du disque B mentionné par la démonstration.

Nous voulons montrer que tout point de f(U) est intérieur, autrement dit est contenu dans un disque inclus dans f(U). Soit Modèle:Nobr un point arbitraire de f(U) (avec zModèle:Ind dans U). U étant ouvert, il existe d > 0 tel que B, le disque fermé de centre zModèle:Ind et de rayon d, soit inclus dans U. f étant non constante sur U et U étant connexe, f est non constante sur B. La fonction Modèle:Nobr est analytique non constante, et admet zModèle:Ind comme racine ; d'après le principe des zéros isolés, nous pouvons donc choisir d pour que g n'ait pas d'autres racines dans B. Soit alors e le minimum de |g(z)| pour z sur le cercle frontière de B, et soit D le disque de centre wModèle:Ind et de rayon e. D'après le théorème de Rouché, la fonction g(z) = f(z) – wModèle:Ind a le même nombre de racines (comptées avec multiplicités) dans B que f(z) – w pour tout w à une distance strictement inférieure à e de wModèle:Ind. Ainsi, pour chaque w dans D, il existe au moins un zModèle:Ind dans B tel que f(zModèle:Ind) = w. Le disque D est donc contenu dans f(B), sous-ensemble de f(U) ; wModèle:Ind est donc un point intérieur de f(U).

Il est également possible de démontrer ce théorème sans théorie de l'intégration, à partir du théorème du point fixe de Brouwer, ou plus simplement encore à partir du théorème du point fixe de Banach/Picard.

Remarques

Ce théorème est un exemple des importantes différences entre les applications holomorphes et les fonctions R-différentiables de C vers C : la fonction de variable complexe z ↦ z Modèle:Surligner est R-différentiable et de [[Classe de régularité|classe CModèle:Exp]], mais n'est clairement pas ouverte. Elle n'est même pas ouverte comme application de C dans R puisque son image est l'intervalle fermé [0, Modèle:Math[. De même, il n'y a pas d'équivalent pour les fonctions de variable réelle.

Généralisation à plusieurs variables

Le théorème de l'image ouverte reste valable pour les fonctions holomorphes à plusieurs variables : on remplace simplement dans l'énoncé U par un ouvert connexe de Cⁿ. La preuve consiste à se ramener au cas d'une variable en traçant la droite (complexe) passant par deux points ayant des valeurs différentes par f.

Applications

• Le théorème fondamental de l'algèbre se déduit directement du théorème de l'application ouverte : d'après le théorème de l'application ouverte, l'image $P(ℂ)$ de tout polynôme $P$ non constant est un ouvert de $ℂ$ ; il ne reste plus qu'à montrer que $P(ℂ)$ est un fermé de $ℂ$, et la connexité de $ℂ$ permettra de conclure que $P(ℂ)=ℂ$, et donc que $0\in P(ℂ)$.

• Le principe du maximum des fonctions holomorphes peut se déduire aisément du théorème de l'application ouverte. En effet, si f : U → C est une application holomorphe non constante sur un ouvert connexe U de Cⁿ, alors pour tout point z₀ de U, l'image par f de tout voisinage ouvert de z₀ est un voisinage ouvert W de f(z₀) dans C. De par la topologie de C, |f(z₀)| n'est pas un maximum de l'ensemble des |w| pour w parcourant W. Donc |f(z₀)| n'est pas un maximum local. Le même raisonnement tient pour Re(f(z)) à la place de |f(z)|.

Références

• Modèle:Rudin