Théorème de la moyenne

Le théorème de la moyenne (en analyse réelle)

En analyse réelle, le théorème de la moyenne est un résultat classique concernant l'intégration des fonctions continues d'une variable réelle, selon lequel la moyenne d'une fonction continue sur un segment se réalise comme valeur de la fonction.

Énoncé

Inégalité de la moyenne: la valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur $[a,b]$ est comprise entre son minimum et son maximum.

L'intégrale est ici définie au sens de Riemann (mais Modèle:Mvar étant supposée continue, une forme plus simple d'intégration, comme celle utilisée par Cauchy, peut être employée) ; si on admet le premier théorème fondamental de l'analyse, le théorème de la moyenne se confond avec le théorème des accroissements finis.

On n'en utilise souvent que la conséquence plus faible suivante, connue sous le nom d’inégalité de la moyenne : Modèle:Théorème (ce dernier résultat est encore valable pour des fonctions intégrables quelconques)

Remarques

• Graphiquement, une interprétation de ce théorème est que l'aire algébrique sous la courbe représentative de Modèle:Mvar est égale à celle d'un rectangle de base Modèle:Math, et de hauteur un point moyen de la courbe.
• Ce théorème s'étend aux fonctions réelles de plusieurs variables sur un domaine compact et connexe par les intégrales multiples.
• Modèle:Refnec Le théorème de la moyenne énonce l'existence d'un réel Modèle:Mvar mais ne donne aucune information sur sa dépendance en la fonction Modèle:Mvar.
• L'hypothèse de continuité est essentielle. Par exemple pour Modèle:Math en posant Modèle:Math si Modèle:Math et Modèle:Math sinon, la valeur moyenne de Modèle:Mvar vaut 1/2 donc n'est pas réalisée comme valeur de Modèle:Mvar.

Démonstration

En utilisant le premier théorème fondamental de l'analyse, ou alors en court-circuitant la théorie de l'intégrale de Riemann et en prenant, comme définition de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle, la variation sur cet intervalle de l'une quelconque de ses primitives (donc en admettant qu'il en existe), le théorème de la moyenne devient une simple reformulation du théorème des accroissements finis.

En effet, si Modèle:Mvar est une primitive de Modèle:Mvar, alors le théorème des accroissements finis pour Modèle:Mvar fournit l'existence d'un réel Modèle:Mvar strictement compris entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar tel que

$F^{\prime }(c)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a},$

ce qui est le résultat souhaité puisque Modèle:Math et $F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x.$

Pour une démonstration plus « directe », cf. généralisation ci-dessous en posant Modèle:Math.

Généralisation

De même que le théorème de la moyenne est une version intégrale du théorème des accroissements finis, sa généralisation suivante est une version intégrale du théorème des accroissements finis généralisé :

Pour toutes fonctions d'une variable réelle Modèle:Mvar et Modèle:Mvar continues sur le segment Modèle:Math, avec Modèle:Math, Modèle:Mvar gardant un signe constant sur Modèle:Math, il existe un réel Modèle:Mvar de Modèle:Math tel que

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(c)\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x.$

Remarque

L'hypothèse que Modèle:Mvar garde un signe constant est indispensable : par exemple pour Modèle:Math et Modèle:Math, il n'existe aucun Modèle:Mvar tel que Modèle:Math.

Articles connexes

• Modèle:Lien
• Intégrale de Stieltjes : première et seconde formules de la moyenne

Lien externe

• Paul Mansion, « Sur le second théorème de la moyenne » (1885), en ligne et commenté sur BibNum.