Théorèmes de Guldin

On désigne sous le nom de théorèmes de Guldin deux énoncés de géométrie euclidienne concernant les solides de révolution établis par le mathématicien suisse Paul Guldin. Il est probable que ces résultats étaient déjà connus de Pappus d'Alexandrie et c'est pourquoi on rencontre aussi l'appellation de théorème de Pappus-Guldin (à ne pas confondre avec le théorème de Pappus). Il exprime sous certaines conditions :

• l'aire de la surface engendrée par un arc de courbe ;
• la mesure du volume engendré par une surface.

Une autre application courante de ce théorème est le calcul de la position du centre de gravité d'un arc de courbe ou d'une surface.

Premier énoncé

Exemples :

• l'aire du tore ouvert de rayons Modèle:Mvar et Modèle:Mvar vaut $𝒜=(2\pi r)(2\pi R)=4{\pi }^{2}rR$
• l'aire engendrée par un demi-cercle de rayon Modèle:Mvar et de centre de gravité Modèle:Mvar est la sphère d'aire $𝒜=(2\pi r_G)(\pi R)=4\pi R^2$. Il vient Modèle:Math.

Second énoncé

Exemples :

• le volume intérieur du tore ouvert de rayons Modèle:Mvar et Modèle:Mvar vaut $V=(\pi r^2)(2\pi R)=2{\pi }^2{r}^{2}R$.
• Inversement le théorème permet d'obtenir un centre de gravité, par exemple
  • le volume engendré par un demi-disque de rayon Modèle:Mvar et de centre de gravité Modèle:Mvar est la boule de mesure $V=(\frac{1}{2}\pi R^2)(2\pi r_G)=\frac{4}{3}\pi R^3$. Il vient Modèle:Math.

    

    Centre de gravité d'un triangle rectangle

  • le centre de gravité d'une plaque triangulaire rectangle homogène se trouve au tiers des côtés de l'angle droit.

Modèle:Démonstration/début Faisons tourner le triangle autour du côté de longueur $h$ (voir figure) ; on obtient un tronc de cône de volume $V=\frac{1}{3}\pi b^{2}h$ ; mais d'après le deuxième théorème de Guldin, $V$ est aussi égal à $\frac{ab}{2}.2\pi d$ où $d$ est la distance du centre de gravité à l'axe. On obtient $d=\frac{b}{3}$, ce que nous voulions. Modèle:Démonstration/fin

Le volume de ce tube hélicoïdal à section carrée est égal au produit de l'aire du carré par la longueur de la portion d'hélice décrite par le centre du carré.

Généralisation du second énoncé

Le volume du solide engendré par le mouvement d'un domaine plan $D$ restant isométrique à lui-même et ne se recoupant pas lors du mouvement, le centre de gravité $G$ du domaine parcourant une courbe $C$, le plan contenant $D$ étant constamment perpendiculaire en $G$ à la courbe $C$, est égal au produit de l'aire du domaine par la longueur de la courbe décrite par son centre de gravité.

Liens externes

• Modèle:MathWorld