Théorie de l'homotopie
Modèle:Confusion La théorie de l'homotopie est une branche des mathématiques issue de la topologie algébrique dans laquelle les espaces et applications sont considérés à homotopie près. La notion topologique de déformation est étendue à des contextes algébriques notamment via les structures de complexe différentiel puis d’algèbre Modèle:Math.
Approche topologique
Modèle:Exemple encadré Étant donné deux équivalences d’homotopie Modèle:Math et Modèle:Math, l’ensemble des classes d'homotopie des applications continues entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar s’identifie à celui des applications entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar par composition avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.
L’ensemble des classes d’homotopie d’applications continues entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar est donc un invariant homotopique noté Modèle:Math, et en particulier, les groupes d’homotopie d’un espace topologique Modèle:Mvar : Modèle:Math. De nombreuses autres constructions permettent de définir de tels invariants comme l’homologie et la cohomologie.
Au contraire, la dimension d’une variété différentielle n’est pas un invariant homotopique, puisque tous les espaces vectoriels réels sont contractiles, c’est-à-dire homotopiquement équivalents à un point. De même, on a pu distinguer[1] les types d’homotopie des espaces de configuration de deux espaces lenticulaires homotopiquement équivalents.
Le remplacement d’une application continue par une fibration ou une cofibration permet de définir les fibres et cofibres homotopiques.