Théorème de Hardy-Ramanujan

En mathématiques et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Hardy-Ramanujan, démontré par G. H. Hardy et S. Ramanujan en 1917, énonce que $\ln (\ln n)$ est un ordre normal du nombre $\omega (n)$ de facteurs premiers distincts d'un entier naturel $n$, où $\ln n$ désigne la fonction logarithme naturel.

Cela signifie que la plupart des nombres ont environ ce nombre de facteurs premiers distincts. Par exemple, le nombre de facteurs premiers d'un entier inférieur à un milliard $(10^9)$ est $\ln (\ln 10^9)\approx 3,03.$

Énoncé

Une version plus précise indique que, pour toute fonction à valeurs réelles $\psi (n)$ qui tend vers l'infini quand n → $\mathrm{\infty }$, on a : $$|\omega (n)-\ln (\ln n)|<\psi (n)\sqrt{\ln (\ln n)}$$

Cette relation n'est pas valable que pour une proportion infinitésimale de nombres réels. Si $g(x)$ désigne le nombre d'entiers naturels $n$ inférieurs à $x$ pour lesquels l'inégalité ci-dessus n'est pas valide : alors $g(x)/x$ converge vers zéro lorsque $x$ tend vers l'infini.

Preuve

Une autre preuve a été donnée par Pál Turán en 1934. La mathématicien a utilisé le crible de Turán afin de prouver la majoration :

$$\sum _{n\le x}|\omega (n)-\ln (\ln n){|}^2\ll x\ln (\ln x).$$

Ordre moyen

G. H. Hardy et S. Ramanujan ont aussi montré l'équivalence suivante:

$$\frac{\omega (1)+\omega (2)+...+\omega (n)}{n}\sim \ln (\ln n)(n\to +\mathrm{\infty }).$$

On dit alors que $\ln (\ln n)$ est un ordre moyen de $\omega (n)$.

Généralisations

Les mêmes résultats sont vrais pour $\mathrm{\Omega }(n)$, le nombre de facteurs premiers de n comptés avec multiplicité. Ce théorème est généralisé par le théorème d'Erdős–Kac, qui montre que $\omega (n)$ est essentiellement normalement distribué.

Voir aussi

• Wentang Kuo, Yu-Ru Liu, « The Erdős–Kac theorem and its generalizations », in Jean-Marie De Koninck, Andrew Granville, Florian Luca (éd.), Anatomy of integers. D'après l'atelier CRM, Montréal, Canada, 13-Modèle:Date-, Actes de CRM et notes de cours, 46, Providence, RI: American Mathematical Society, pp.   209-216, 2008 Modèle:ISBN, Modèle:Zbl
• Pál Turán, « On a theorem of Hardy and Ramanujan », Journal de la London Mathematical Society, 9 (4): 274-276, doi : 10.1112 / jlms / s1-9.4.274, 1934 Modèle:ISSN, {$Modèle:Zbl
• Modèle:EncycloMath