Ordre normal (fonction arithmétique)

Dans la théorie des nombres, l´ordre normal d'une fonction arithmétique est une fonction plus simple ou mieux comprise que la première qui prend "habituellement" les mêmes valeurs ou des valeurs approximatives.

Soit f une fonction définie sur les nombres naturels. On dit que g est un ordre normal de f si pour tout $\epsilon >0$, les inégalités

$$(1-\epsilon )g(n)\le f(n)\le (1+\epsilon )g(n)$$

sont vraies pour presque tout n, c'est-à-dire, que la proportion de n ≤ x, pour lesquelles ces inégalités sont fausses, tend vers 0 quand x tend vers l'infini.

Il est classique de supposer que la fonction d'approximation g est continue et monotone.

Exemples

• Le théorème de Hardy-Ramanujan : l'ordre normal de $\omega (n)$, le nombre de facteurs premiers distincts de n, est $\ln (\ln n)$;
• L'ordre normal de $\mathrm{\Omega }(n)$, le nombre de facteurs premiers de n comptés avec la multiplicité, est également $\ln (\ln n)$;
• L'ordre normal de $\ln (d(n))$, où $d(n)$ est le nombre de diviseurs de n, est égal à $(\ln 2)\cdot \ln (\ln n)$.

Voir également

• Ordre moyen d'une fonction arithmétique
• Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs
• Ordres extrêmes d'une fonction arithmétique

Références

• Modèle:Article
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. Modèle:ISBN. MR 2445243. Zbl 1159.11001.. p. 473
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004), Handbook of number theory II, Dordrecht: Kluwer Academic, p. 332, Modèle:ISBN, Zbl 1079.11001
• Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Dunod (2022) Modèle:ISBN.