Théorème de Schur-Horn

En mathématiques, le théorème de Schur-Horn est un théorème d'algèbre linéaire caractérisant l'ensemble des diagonales possibles, pour une matrice hermitienne de valeurs propres prescrites.

Énoncé

Étant donnés Modèle:Math réels

$d_1\ge d_2\ge \dots \ge d_N\mathrm{e}\mathrm{t}{\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \dots \ge {\lambda }_N,$

s'il existe une matrice hermitienne d'éléments diagonaux les Modèle:Math et de valeurs propres les Modèle:Math, alors (théorème de SchurModèle:,)

$\sum _{i=1}^N{d}_i=\sum _{i=1}^N{\lambda }_i\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{\forall }n<N\sum _{i=1}^n{d}_i\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_i.$

Réciproquement, si ces conditions sont vérifiées alors (théorème de HornModèle:,) il existe une matrice hermitienne, et même une matrice réelle symétrique, d'éléments diagonaux les Modèle:Math et de valeurs propres les Modèle:Math.

Reformulation

Modèle:Voir Pour deux vecteurs de ℝModèle:Exp,

$d=(d_1,d_2,\dots ,d_N)\mathrm{e}\mathrm{t}\lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_N),$

il existe une matrice hermitienne (et même alors une matrice réelle symétrique) d'éléments diagonaux les Modèle:Math et de valeurs propres les Modèle:Math si et seulement si

$\lambda \succ d$ (lire : « [[Majorisation|Modèle:Math majorise Modèle:Math]] »),

c'est-à-dire — par définition — si, lorsqu'on réordonne de façon décroissante les composantes de ces deux vecteurs, l'égalité et les Modèle:Math inégalités ci-dessus sont vérifiées.

Or il existe des caractérisations équivalentes de la majorisation :

• Modèle:Math majorise Modèle:Math si et seulement s'il existe une matrice bistochastique Modèle:Math telle que Modèle:Math.
• Modèle:Math majorise Modèle:Math si et seulement s'il existe une suite finie de vecteurs dont le premier est Modèle:Math, le dernier est Modèle:Math et le successeur de chaque vecteur Modèle:Math est une combinaison convexe de Modèle:Math et de l'un de ses transposés.

Démonstration

Notons Modèle:Math la matrice diagonale des Modèle:Math.

⇒ : Soit $A=(a_{i,j})$ une matrice hermitienne Modèle:Math, de valeurs propres les Modèle:Math et de diagonale les Modèle:Math. Puisque Modèle:Math est normale, il existe une matrice unitaire Modèle:Math telle que Modèle:Math doncModèle:Retrait autrement dit, en notant Modèle:Math et $S=(s_{i,j})$ : Modèle:Retrait

Comme Modèle:Math est unitaire, Modèle:Math est bistochastique, [[#Reformulation|ce qui prouve que Modèle:Math majorise Modèle:Math]].

⇐ : Réciproquement, supposons que Modèle:Math majorise Modèle:Math. [[#Reformulation|On peut alors passer de Modèle:Math à Modèle:Math]] par une suite finie de vecteurs dont chacun est obtenu à partir du précédent en ne modifiant que deux composantes Modèle:Math, augmentant Modèle:Math d'au plus Modèle:Math et diminuant Modèle:Math d'autant. Construisons par récurrence, pour chaque vecteur Modèle:Math de cette suite (en particulier pour le dernier, ce prouvera l'implication), une matrice réelle symétrique de valeurs propres les Modèle:Math et de diagonale Modèle:Math. Pour le premier vecteur, Modèle:Math, la matrice Modèle:Math convient. Supposons construite une matrice $A=(a_{i,j})$ pour le vecteur Modèle:Math et construisons une matrice Modèle:Math pour son successeur Modèle:Math, qui ne diffère de Modèle:Math que par deux coordonnées, par exemple, pour simplifier les notations : Modèle:Math et Modèle:Math avec Modèle:Math compris entre Modèle:Math et Modèle:Math. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un angle Modèle:Math entre Modèle:Math et Modèle:Math tel que

$\delta =(x_1-x_2){\sin }^2\theta +a_{1,2}\sin (2\theta ).$

Soient Modèle:Math la matrice de rotation plane d'angle Modèle:Math et Modèle:Math la matrice identité de taille Modèle:Math. La matrice diagonale par blocs Modèle:Retrait est orthogonale, et un calcul immédiat montre que Modèle:Math convient.

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