Théorème min-max de Courant-Fischer

Modèle:Homon En algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, le théorème min-max de Courant-Fischer donne une caractérisation variationnelle des valeurs propres d'une matrice hermitienne. Il permet donc de caractériser les valeurs singulières d'une matrice complexe quelconque. Il s'étend aux opérateurs compacts autoadjoints sur un espace de Hilbert, ainsi qu'aux opérateurs autoadjoints bornés inférieurement.

Énoncé

Soit Modèle:Math une matrice hermitienne Modèle:Math, de valeurs propres Modèle:Math (répétées selon leur multiplicité). Notons, pour tout Modèle:Math de Modèle:Math à Modèle:Math, Modèle:Math l'[[Grassmannienne|ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension Modèle:Math de ℂModèle:Exp]] et pour tout vecteur Modèle:Math non nul, Modèle:Math le quotient de Rayleigh Modèle:Math, où Modèle:Math désigne le produit scalaire hermitien canonique. Alors,

${\lambda }_k=\underset{V\in G_k}{\max }\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\in V}{x\ne 0}}{\min }R(A,x)=\underset{W\in G_{n-k+1}}{\min }\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{y\in W}{y\ne 0}}{\max }R(A,y)$

ou encore, par homogénéité :

${\lambda }_k=\underset{V\in G_k}{\max }\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\in V}{\Vert x\Vert =1}}{\min }⟨Ax,x⟩=\underset{W\in G_{n-k+1}}{\min }\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{y\in W}{\Vert y\Vert =1}}{\max }⟨Ay,y⟩.$

Si Modèle:Math est de plus réelle (donc symétrique), on a les mêmes égalités en remplaçant Modèle:Math par l'ensemble des sous-espaces de dimension Modèle:Math de [[Espace euclidien|ℝModèle:Exp]].

Démonstration

Comme Modèle:Math est normale, il existe une base orthonormée Modèle:Math formée de vecteurs propres pour Modèle:Math, associés (dans cet ordre) aux Modèle:Math.

D'après la formule de Grassmann, tout sous-espace Modèle:Math de dimension Modèle:Math contient au moins un vecteur unitaire du sous-espace engendré par Modèle:Math. Un tel vecteur s'écrit

donc vérifie

ce qui prouve que

(il s'agit bien d'un minimum car la borne inférieure est atteinte, par compacité et continuité).

Pour Modèle:Math égal au sous-espace engendré par Modèle:Math, ce minimum est atteint pour Modèle:Math et est égal au majorant Modèle:Math, ce qui achève la preuve de la première égalité. La seconde se démontre de même, ou se déduit de la première appliquée à Modèle:Math.

Applications

Caractérisation des valeurs singulières

Soit Modèle:Math une matrice complexe Modèle:Math avec Modèle:Math. Les valeurs singulières Modèle:Math de Modèle:Math sont les racines carrées des valeurs propres de la matrice positive Modèle:Math. Un corollaire immédiat du théorème de Courant-Fischer est donc :

${\sigma }_k=\underset{V\in G_k}{\max }\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\in V}{\Vert x\Vert =1}}{\min }\Vert Mx\Vert =\underset{W\in G_{n-k+1}}{\min }\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{y\in W}{\Vert y\Vert =1}}{\max }\Vert My\Vert .$

Théorème d'entrelacement de Cauchy

Modèle:Article détaillé Soient Modèle:Math une matrice hermitienne Modèle:Math et Modèle:Math une matrice m × m déduite de Modèle:Math par Modèle:Lien (Modèle:Math, où Modèle:Math est une matrice Modèle:Math telle que Modèle:Math). Alors, les valeurs propres Modèle:Math de Modèle:Math et Modèle:Math de Modèle:Math vérifient : pour tout Modèle:Math,

${\alpha }_k\ge {\beta }_k\ge {\alpha }_{n-m+k}.$

En particulier si Modèle:Math alors Modèle:Math, d'où le nom d'entrelacement.

Opérateurs compacts

Soit Modèle:Math un espace de Hilbert. Tout opérateur autoadjoint sur Modèle:Math se décompose canoniquement en la différence de deux opérateurs Modèle:Lien de produit nul (par calcul fonctionnel continu, en lui appliquant les fonctions partie positive et partie négative).

Soit Modèle:Math un opérateur compact positif sur Modèle:Math. Ses valeurs propres non nulles sont de multiplicité finie et forment une suite décroissante Modèle:Math et l'on a encore (en notant Modèle:Math l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension Modèle:Math de Modèle:Math) :

${\lambda }_k=\underset{V\in G_k}{\max }\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\in V}{\Vert x\Vert =1}}{\min }⟨Ax,x⟩=\underset{U\in G_{k-1}}{\min }\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{y\in U^{\mathrm{\perp }}}{\Vert y\Vert =1}}{\max }⟨Ay,y⟩.$

Voir aussi

Articles connexes

• Modèle:Lien
• Modèle:Lien
• Théorème de Gerschgorin

Bibliographie

• Modèle:En Modèle:Lien et B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators, Academic Press, 1977
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage