Transformation d'Aluthge

En mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, la transformation d’Aluthge est une opération définie sur l'ensemble des opérateurs bornés d'un espace de Hilbert ; c'est un outil important pour étudier certaines classes d'opérateurs linéaires.

Soit $H$ un espace de Hilbert. On note $B(H)$ l'algèbre des opérateurs linéaires continus de $H$ dans lui-même.

Théorème de la décomposition polaire

Soient $T\in B(H)$, $T^{*}$ son opérateur adjoint et $|T|$ la racine carrée de l'opérateur $T^{*}T$. Il existe une unique isométrie partielle $U$ telle que $T=U|T|$ et $\ker (U)\supset \ker (T)$.

Définition

Soient $T\in B(H)$ et $T=U|T|$ sa décomposition polaire. La transformation d'Aluthge de $T$ est l'opérateur $\mathrm{\Delta }(T)$ défini par :

$\mathrm{\Delta }(T)=|T{|}^{\frac{1}{2}}U|T{|}^{\frac{1}{2}}$.

Plus généralement, pour tout nombre réel $\lambda \in [0,1]$, on appelle $\lambda$-transformation d'Aluthge de $T$ l'opérateur ${\mathrm{\Delta }}_{\lambda }(T):=|T{|}^{\lambda }U|T{|}^{1-\lambda }\in B(H)$.

Exemple

Pour deux vecteurs $x,y\in H$, on note $x\otimes y$ l'opérateur défini par : $\mathrm{\forall }z\in Hx\otimes y(z)=⟨z,y⟩x$. Un calcul élémentaire montre que si $y\ne 0$ alors ${\mathrm{\Delta }}_{\lambda }(x\otimes y)=\mathrm{\Delta }(x\otimes y)=\frac{⟨x,y⟩}{\Vert y{\Vert }^2}y\otimes y$.