Triangle de Floyd

Le triangle de Floyd est un tableau triangulaire d'entiers naturels utilisé en enseignement de l'informatique, portant le nom du chercheur en informatique Robert Floyd. Il présente les entiers strictement positifs dans l'ordre, chaque ligne comportant un terme de plus que la précédente.

Présenté en escalier :

1
2	3
4	5	6
7	8	9	10
11	12	13	14	15

Présenté en pyramide :

			1
		2		3
	4		5		6
7		8		9		10

Le problème de l'écriture d'un programme informatique pour produire ce triangle a été fréquemment utilisé comme exercice ou exemple pour les programmeurs informatiques débutants, couvrant les concepts de formatage de texte et de constructions de boucles simples.

Définition mathématique

Le triangle de Floyd peut être défini par la suite double $(F_{n,k})$ définie par $F_{n,k}=1+2+\cdots +(n-1)+k=\frac{n(n-1)}{2}+k=T_{n-1}+k$, pour $1⩽k⩽n$ ; les $T_n$ sont les nombres triangulaires.

Propriétés

• La ligne $n$ est obtenue en ajoutant $n-1$ à la ligne précédente ($F_{n,k}=F_{n-1,k}+n-1$) et en complétant par le successeur du dernier terme.
• Les nombres situés sur le bord gauche forment la suite du traiteur paresseux (nombres triangulaires augmentés de 1) : $F_{n,1}=T_{n-1}+1$ ; ceux du bord droit forment la suite des nombres triangulaires : $F_{n,n}=T_n$.
• Les termes centraux des lignes impaires sont les nombres carrés centrés, sommes de deux carrés consécutifs : $F_{2n-1,n}=T_{2n-2}+n=2n^2-2n+1=(n-1{)}^2+n^2$, en rouge dans la figure ci-contre.
• La somme des termes de la ligne $n$ est égale à $n{T}_{n-1}+T_n=\frac{n(n^2+1)}{2}$, constante du carré magique normal Modèle:Formule (Modèle:OEIS).

• La somme des termes des $n$ premières lignes est égale à $1+2+\cdots +T_n=T_{T_n}=n(n+1)(n^2+n+2)/8$, nombre doublement triangulaire : Modèle:OEIS.

Variante 1 : triangle des nombres impairs

Même construction que le précédent, mais le triangle ne présente que les entiers impairs. Il a été par exemple considéré par Charles Wheatstone en 1856.

Présenté en escalier :

1
3	5
7	9	11
13	15	17	19
21	23	25	27	29

Présenté en pyramide :

				1
			3		5
		7		9		11
	13		15		17		19
21		23		25		27		29

Définition mathématique

Ce triangle peut être défini par la suite double $(W_{n,k})$ définie par $W_{n,k}=n^2-n+2k-1=2T_{n-1}+2k-1=2F_{n,k}-1$, pour $1⩽k⩽n$.

Il est répertorié comme Modèle:OEIS.

Propriétés

Extrait de la publication de Charles Wheatstone.

• La ligne $n$ est obtenue en ajoutant $2(n-1)$ à la ligne précédente ($W_{n,k}=W_{n-1,k}+2(n-1)$) et en complétant par le dernier terme augmenté de 2.
• Les nombres situés sur le bord gauche sont les nombres polygonaux centraux : $W_{n,1}=n^2-(n-1)$, Modèle:OEIS ; ceux du bord droit : $W_{n,n}=n^2+n-1$, Modèle:OEIS.
• Les termes centraux des lignes impaires sont les nombres carrés impairs : $W_{2n-1,n}=(2n-1{)}^2$.
• La somme des termes de la ligne $n$ est égale à $n\frac{n^2-(n-1)+n^2+n-1)}{2}=n^3$

• La somme des termes des $n$ premières lignes est égale à $1+3+5+\cdots +(n^2+n-1)={\left(\frac{n^2+n}{2}\right)}^2$ (somme d'impairs consécutifs), mais aussi, d'après ce qui précède, égale à $1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3$ ; ceci constitue la démonstration de Wheatstone de la formule de Nicomaque.

Variante 2

Ce triangle présente tous les entiers à partir de 1, avec deux termes de plus à chaque ligne.

Présenté en escalier :

1
2	3	4
5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16

Présenté en pyramide :

			1
		2	3	4
	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16

Définition mathématique

Ce triangle peut être défini par la suite double $(V_{n,k})$ définie par $V_{n,k}=(n-1{)}^2+k$, pour $1⩽k⩽2n-1$.

Propriétés

• La ligne $n$ est obtenue en ajoutant $2n-3$ à la ligne précédente ($V_{n,k}=V_{n-1,k}+2n-3$) et en complétant par les deux successeurs du dernier terme.
• Les nombres situés sur le bord gauche sont les carrés augmenté de 1 : $V_{n,1}=(n-1{)}^2+1$ ; ceux du bord droit les carrés : $V_{n,n}=n^2$.
• Les termes centraux sont les nombres polygonaux centraux : $V_{n,n}=(n-1{)}^2+n=n^2-n+1$, Modèle:OEIS.
• La somme des termes de la ligne $n$ est égale à $(2n-1)(n^2-n+1)=n^3+(n-1{)}^3$, nombre cubique centré (Modèle:OEIS).

• La somme des termes des $n$ premières lignes est égale à $1+2+\cdots +n^2=T_{n^2}=n^2(n^2+1)/2$ : Modèle:OEIS ; elle est aussi égale d'après ce qui précède à $2\sum _{k=1}^n{k}^3-n^3$, ce qui donne $\sum _{k=1}^n{k}^3=(T_{n^2}+n^3)/2=n^2(n+1{)}^2/4.$

Voir aussi

• Tableau triangulaire

Liens externes

• Modèle:YouTube