Trigonométrie complexe

Extension des fonctions circulaires

Dans le plan des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques satisfont les égalités suivantes :$$\{\begin{array}{cc}\sin z& =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}=\frac{\sinh (\mathrm{i}z)}{\mathrm{i}}=\sum _{k\ge 0}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ \cos z& =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2}=\cosh (\mathrm{i}z)=\sum _{k\ge 0}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k}}{\left(2k\right)!}\\ \tan z& =\frac{\sin (z)}{\cos (z)}=-\mathrm{i}\frac{\sinh (\mathrm{i}z)}{\cosh (\mathrm{i}z)}=-\mathrm{i}\tanh (\mathrm{i}z)=-\mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}\end{array}.$$De même que leurs fonctions réciproques $\arcsin z=-\mathrm{i}\ln (\mathrm{i}z+\sqrt{1-z^2})$, $\arccos z=-\mathrm{i}\ln (z+\sqrt{z^2-1})$ et $\arctan z=\frac{\mathrm{i}}{2}[\ln (1-\mathrm{i}z)-\ln (1+\mathrm{i}z)]$. Ces fonctions réciproques souffrent des mêmes problèmes d'indétermination que le logarithme complexe.

Rappel : ${\mathrm{e}}^{a+\mathrm{i}b}={\mathrm{e}}^a{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}b}={\mathrm{e}}^a(\cos (b)+\mathrm{i}\sin (b))$.

Formules d'addition

Pour tous nombres complexes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, on a par exemple$$\begin{array}{cc}\cosh (a+b)& =\cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b\\ \cos (a+b)& =\cos a\cos b-\sin a\sin b\end{array}.$$ Modèle:Démonstration

d'où (en remplaçant Modèle:Mvar par Modèle:Math) :

$\begin{array}{cc}\cosh (a+\mathrm{i}b)& =\cosh a\cos b+\mathrm{i}\sinh a\sin b,\\ \cos (a+\mathrm{i}b)& =\cos a\cosh b-\mathrm{i}\sin a\sinh b.\end{array}$

Pour les autres fonctions trigonométriques, on fait de même. Pour Modèle:Math et Modèle:Math, Il vaut mieux utiliser leurs définitions, soit $$\tan z=\frac{\sin z}{\cos z},\cot z=\frac{\cos z}{\sin z},\tanh z=\frac{\sinh z}{\cosh z},\coth z=\frac{\cosh z}{\sinh z}.$$

Sujets liés

• Fonction trigonométrique
• Fonction exponentielle
• Exponentielle complexe
• Fonction hyperbolique
• Nombre complexe

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