Variété de Whitehead

Trois premiers tores de la construction de la variété de Whitehead

En mathématiques, la variété de Whitehead est une 3-variété ouverte contractile, mais non homéomorphe à ${ℝ}^3$ . J. H. C. Whitehead (1935) a découvert cet objet déroutant alors qu'il tentait de prouver la conjecture de Poincaré, corrigeant une erreur dans un de ses précédents articles (Whitehead (1934)) dans lequel il affirmait à tort qu'il n'en existait pas.

Une variété contractile est une variété qui peut être réduite en un point situé à l'intérieur de la variété elle-même. Par exemple, une boule ouverte est une variété contractible. Toutes les variétés homéomorphes de la balle sont également contractiles. On peut se demander si toutes les variétés contractiles sont homéomorphes à une balle. Pour les dimensions 1 et 2, la réponse est classique et c'est "oui". En dimension 2, il découle, par exemple, du théorème de mappage de Riemann. La dimension 3 présente le premier contre-exemple : la variété Whitehead.

Construction

Prenez une copie de $S^3$. Prenez un tore solide (plein) compact sans nœud $T_1$ dans la sphère. Le complément fermé de $T_1$est un autre tore.

Un lien épaissi de Whitehead. Dans la construction de la variété Whitehead, le tore bleu (non torsadé) est un voisinage tubulaire de la courbe méridienne de $T_1$ et le tore orange est $T_2$ . Tout doit être contenu dans $T_1$ .

Prenez maintenant un second tore solide $T_2$ dans $T_1$ tel que $T_2$ et un voisinage tubulaire de la courbe méridienne de $T_1$est un lien Whitehead épaissi.

Maintenant, construisez $T_3$ dans $T_2$ de la même manière que $T_2$ a été construit dans $T_1$, et ainsi de suite indéfiniment. définissez W, le continuum de Whitehead , comme étant $W=T_{\mathrm{\infty }}$, ou plus précisément l'intersection de tous les $T_k$ pour $k=1,2,3,\dots$.

La variété de Withehead est définie comme $X=S^3\setminus W$, ce qui est une variété non compacte dans frontières.

Remarque : analyse impliquant les résultats de Morton Brown montre que $X\times ℝ\cong {ℝ}^4$. Cependant, X n'est pas homéomorphique à ${ℝ}^3$. Cela vient du fait qu'elle ne soit pas simplement liée à l'infini.

La compactification en un point de X est l'espace $S^3/W$ (avec W contracté en un point). Ce n'est pas une variété. Cependant, $({ℝ}^3/W)\times ℝ$ est homéomorphe à ${ℝ}^4$ .

David Gabai a montré que X est l’union de deux copies de ${ℝ}^3$ dont l'intersection est aussi homéomorphe à ${ℝ}^3$ .

Espaces connexes

D'autres exemples de 3-variétés ouvertes et contractiles peuvent être construites en procédant de manière similaire et en choisissant différentes inclusions de $T_{i+1}$ dans $T_i$ durant le processus itératif. Chaque inclusion doit être un tore solide sans nœud dans la 3-sphère. La propriété essentielle est que la méridienne de $T_i$ doit être nulle-homotopique dans le complément de $T_{i+1}$, et en supplément, la longitude de $T_{i+1}$ ne doit pa être nulle-homotopique dans $T_i\setminus T_{i+1}$. Une autre variation est de choisir plusieurs sous-tores ià chaque étape au lieu d'en choisir un seul.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Rolfsen, Dale (2003), "Section 3.J.8.", Knots and links, AMS Chelsea Publishing, p. 82, Modèle:ISBN
• Whitehead, J. H. C. (1934), "Certain theorems about three-dimensional manifolds (I)", Quarterly Journal of Mathematics, 5 (1): 308–320, Bibcode:1934QJMat...5..308W, doi:10.1093/qmath/os-5.1.308
• Whitehead, J. H. C. (1935), "A certain open manifold whose group is unity", Quarterly Journal of Mathematics, 6 (1): 268–279, Bibcode:1935QJMat...6..268W, doi:10.1093/qmath/os-6.1.268