Variable de contrôle

Pour la méthode de Monte-Carlo, une variable de contrôle peut être utilisée afin d'obtenir une réduction de la variance, en exploitant la corrélation entre plusieurs statistiques.

Exposé du principe

On cherche à estimer le paramètre Modèle:Mvar, et on dispose d'une estimation Modèle:Mvar non-biaisée de Modèle:Mvar ; autrement dit, $𝔼\left[m\right]=\mu$. On dispose d'une autre statistique Modèle:Mvar, telle que $𝔼\left[t\right]=\tau$, et sa corrélation avec Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, est connue. En supposant connues toutes ces constantes, on peut construire un nouvel estimateur, pour une constante Modèle:Mvar donnée :

$m^{\star }:=m-c(t-\tau ).$

On montre que cet estimateur est un estimateur non-biaisé de Modèle:Mvar, quel que soit le choix de la constante Modèle:Mvar. En outre, on peut montrer que le choix

$c:=\frac{{\sigma }_m}{{\sigma }_t}{\rho }_{mt}$

permet de minimiser la variance ${\sigma }_{m^{\star }}^2$ de $m^{\star }$. Pour ce choix de Modèle:Mvar, la variance de l'estimateur vaut alors

${\sigma }_{m^{\star }}^2=(1-{\rho }_{mt}^2){\sigma }_m^2$;

Par construction, la variance de $m^{\star }$ sera inférieure à celle de l'estimateur initial Modèle:Mvar, d'où le terme de réduction de variance. Plus la corrélation Modèle:Mvar est importante, plus la réduction de la variance sera importante.

Lorsque les écart-type Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, ou la corrélation Modèle:Mvar sont inconnus, on peut les remplacer par leurs estimations empiriques.

Exemple

On souhaite évaluer

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+t}\mathrm{d}t$

dont la vraie valeur est $\ln (2)=0,69315$. Puisque cette intégrale peut être vue comme l'espérance de Modèle:Math, avec Modèle:Mvar la loi uniforme continue standard sur [0;1] et $f(x)=(1+x{)}^{-1}$, une estimation de Monte-Carlo est envisageable.

L'estimation classique se base sur un échantillon de n tirages de la loi uniforme Modèle:Math et vaut

$I_n=\frac{1}{n}\sum _{i}f(u_i)$

On introduit comme variable de contrôle Modèle:Math. Cette variable est uniforme continue sur [1;2], son espérance vaut 3/2 et sa variance 1/12. Par construction, sa covariance avec Modèle:Math est

$1-\frac{3}{2}\times 𝔼(m)=-\frac{3\ln 2-2}{2}$.

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on peut continuer à évaluer exactement toutes les autres quantités entrant en jeu dans la méthode ; mais le plus pratique reste de remplacer tous les moments par leur contrepartie empirique. Avec un échantillon de Modèle:Math réplications, on trouve Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math. La constante optimale vaut -0,48175. On trouve les résultats suivants :

	Estimation	Variance
Monte Carlo basique	0,69631	0,02015
Monte Carlo – contrôle	0,69356	0,00063

Grâce à la corrélation massivement négative avec la variable de contrôle, on parvient à réduire très significativement la variance de l'estimateur de Monte-Carlo.

Notes et références

Bibliographie

• Modèle:En M. Kahn et A. W. Marshall, Methods of reducing sample size in Monte-Carlo computations, Operations Research, 1, 263, 1953.

Références

• Modèle:En Averill M. Law & W. David Kelton, Simulation Modeling and Analysis, Modèle:3e, 2000, Modèle:ISBN
• Modèle:En S. P. Meyn. Control Techniques for Complex Networks, Cambridge University Press, 2007. Modèle:ISBN. en ligne

Liens internes

• Méthode de Monte-Carlo;
• Techniques de réduction de la variance:
  • échantillonnage préférentiel (mieux connue sous le terme anglais importance sampling);
  • variable antithétique;
  • Modèle:Page h;
  • conditionnement (Monte-Carlo).