Zéro d'une fonction holomorphe

En analyse complexe, on appelle zéro d'une fonction holomorphe $f$ un nombre complexe $a$ tel que $f(a)=0$.

Ordre de multiplicité d'un zéro isolé

Dans toute cette section, $U$ désigne un ouvert de ℂ, $f:U\to ℂ$ une fonction holomorphe et $a$ (élément de $U$) un zéro de $f$.

Il existe un disque ouvert $\mathrm{D}(a,r)$ inclus dans $U$ où $f$ se développe en série entière (de rayon de convergence au moins égal à $r$) :

$\mathrm{\forall }z\in \mathrm{D}(a,r),f(z)=\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{\alpha }_k(z-a{)}^k$ (le terme constant est ${\alpha }_0=f(a)=0$ et les autres coefficients sont ${\alpha }_k=f^{(k)}(a)/k!$).

Deux cas (seulement) sont possibles :

• Si pour tout entier $k>0$, ${\alpha }_k=0$, alors

$\mathrm{\forall }z\in \mathrm{D}(a,r),f(z)=0$ : $f$ est identiquement nulle sur $\mathrm{D}(a,r)$ ; $a$ est donc dans ce cas un zéro non isolé ;

• Dans le cas contraire, soit $n$ l'indice du premier coefficient non nul de la série entière ($n\ge 1$ et ${\alpha }_n\ne 0$) : on peut écrire

$\mathrm{\forall }z\in \mathrm{D}(a,r),f(z)=\sum _{k=n}^{+\mathrm{\infty }}{\alpha }_k(z-a{)}^k=(z-a{)}^{n}g(z),$

où $g:\mathrm{D}(a,r)\to ℂ$ est définie par :

$\mathrm{\forall }z\in \mathrm{D}(a,r),g(z)=\sum _{\ell =0}^{+\mathrm{\infty }}{\alpha }_{\ell +n}(z-a{)}^{\ell }.$

Cette fonction $g$ est analytique et $g(a)={\alpha }_n$ est non nul.

Par continuité de $g$ en $a$, il existe un réel strictement positif $r_1<r$ tel que $g$ ne s'annule pas sur $\mathrm{D}(a,r_1)$.

Finalement, pour tout élément $z$ de $\mathrm{D}(a,r_1)$ :

$f(z)=(z-a{)}^{n}g(z)\text{et}g(z)\ne 0.$

On en déduit que $a$ est le seul point de $\mathrm{D}(a,r_1)$ où $f$ s'annule ; $a$ est donc dans ce cas un zéro isolé.

On peut résumer ceci par la définition et le théorème suivants.

Définition

L'ordre de multiplicité (ou la multiplicité) d'un zéro isolé $a$ de $f$ est l'unique entier $n>0$ tel que :

• pour tout entier naturel $k<n$, $f^{(k)}(a)=0$

et

• $f^{(n)}(a)\ne 0.$

Lorsque $n=1$, on dit que $a$ est un zéro simple.

Théorème

• $a$ est un zéro isolé d'ordre $n$ de $f$ (si et) seulement s'il existe une fonction holomorphe $g$, définie sur un disque ouvert $\mathrm{D}(a,r)$ inclus dans $U$, telle que :
  • $\mathrm{\forall }z\in \mathrm{D}(a,r),f(z)=(z-a{)}^{n}g(z)$ et
  • $g(a)\ne 0.$
• Modèle:AncrePrincipe des zéros isolés : si $a$ est un zéro non isolé de $f$, alors il existe un disque ouvert $\mathrm{D}(a,r)$ inclus dans $U$ sur lequel $f$ est nulle.

Remarque

On définit en algèbre la notion analogue d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme non nul, dont celle qui vient d'être définie constitue une généralisation.

Exemple

Soient $a$ un nombre complexe et

$f:ℂ\to ℂ,z\mapsto \exp (z)-\exp (a)-(z-a)\exp (a).$

Cette fonction est entière (c'est-à-dire holomorphe sur ℂ) et $a$ en est un zéro isolé d'ordre 2.

On vérifie en effet que

$f(a)=f^{\prime }(a)=0\text{et}{f}^{″}(a)\ne 0.$

Application

Du principe des zéros isolés on déduit le principe suivant, dont une démonstration est proposée dans l'article Prolongement analytique.

Principe du prolongement analytique

Soient $U$ un ouvert connexe de ℂ et deux fonctions $f_1,f_2$ définies et holomorphes sur $U$.

Si l'ensemble $\{z\in U\mid f_1(z)=f_2(z)\}$ possède au moins un point non isolé, alors $f_1=f_2$.

Ou encore :

s'il existe un élément $a$ de $U$ et une suite $(z_n)$ d'éléments de $U$ distincts de $a$, convergeant vers $a$, tels que pour tout entier $n$, $f_1(z_n)=f_2(z_n)$, alors

$\mathrm{\forall }z\in U{f}_1(z)=f_2(z)$.

Exemple

Soit $U$ un ouvert connexe de ℂ contenant un intervalle $I$ de ℝ non réduit à un point : les points de $I$ sont non isolés.

Si les fonctions $f_1,f_2$ sont holomorphes sur $U$ et coïncident sur $I$, alors elles coïncident sur $U$.

Cela signifie qu'une fonction de $I$ dans ℂ admet au plus un prolongement analytique à un ouvert connexe $U$ de ℂ contenant $I$.

• Ainsi, la fonction exponentielle complexe est le seul prolongement analytique à ℂ de la fonction exponentielle réelle.
• On suppose connue l'identité $\exp (x+y)=\exp (x)\exp (y)$ pour tout couple de réels. On peut l'étendre par prolongement analytique à un couple quelconque de nombres complexes. En effet :
  • Soit $y$ un réel quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes $f_1,f_2$ en posant $f_1(z)=\exp (z+y)$ et $f_2(z)=\exp (z)\exp (y)$. Ces deux fonctions coïncident sur ℝ, donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe $z$, $\exp (z+y)=\exp (z)\exp (y)$, et cela pour tout réel $y$ ;
  • Soit $z$ un complexe quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes $f_3,f_4$ en posant $f_3(u)=\exp (z+u)$ et $f_4(u)=\exp (z)\exp (u)$. Ces deux fonctions coïncident sur ℝ (d'après le point précédent), donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe $u$, $\exp (z+u)=\exp (z)\exp (u)$, et cela pour tout complexe z.

Nombre de zéros

Le principe de l'argument permet de donner le nombre de zéros d'une fonction holomorphe, comptés avec multiplicité, inclus dans un disque.

Si F est holomorphe sur un voisinage d'un disque fermé Modèle:Surligner tel que F ne s'annule pas sur le bord du disque, la formule suivante donne le nombre de zéros de F, comptés avec multiplicité, dans le disque Modèle:Nobr

$\frac{1}{2i\pi }{\oint }_{\partial D}\frac{F^{\prime }(\xi )}{F(\xi )}\mathrm{d}\xi .$