Équation G

En combustion, l'équation G est une équation pour le champ scalaire $G(𝐱,t)$ qui décrit la position instantanée d'une flamme. Elle a été introduite par Forman Williams en 1985Modèle:, dans l'étude de la combustion turbulente pré-mélangée. L'équation est dérivée sur la base de la méthode des surfaces de niveau. L'équation a été étudiée pour la première fois par George H. Markstein sous une forme moins générale pour le calcul de la vitesse de combustionModèle:,Modèle:,.

Description mathématique

L'équation G s'énonce comme suitModèle:,Modèle:, :

$\frac{\partial G}{\partial t}+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }G=S_T|\mathrm{\nabla }G|$

où

• $𝐯$ est le champ de vitesse d'écoulement,
• $S_T$ est la vitesse de flamme locale.

L'emplacement de la flamme est donné par $G(𝐱,t)=G_o$ qui peut être défini arbitrairement de telle sorte que $G(𝐱,t)>G_o$ soit la région des gaz brûlés et $G(𝐱,t)<G_o$ soit la région des gaz non brûlés. Le vecteur normal à la flamme, pointant vers le gaz brûlé, est $𝐧=\mathrm{\nabla }G/|\mathrm{\nabla }G|$.

Vitesse de combustion locale

Selon la théorie Matalon-Matkowsky-Clavin-Joulin la vitesse de combustion de la Modèle:Lien, pour une faible courbure et une faible déformation, est donnée par :

$\frac{S_T}{S_L}=1+{ℳ}_c{\delta }_L\mathrm{\nabla }\cdot 𝐧+{ℳ}_s{\tau }_L𝐧𝐧:\mathrm{\nabla }𝐯$

où

• $S_L$ est la vitesse de combustion de la flamme pré-mélangée,
• ${ℳ}_c$ et ${ℳ}_s$ sont les deux nombre de Markstein associés au terme de courbure $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐧$ et au terme $𝐧𝐧:\mathrm{\nabla }𝐯$ correspondant à la déformation d'écoulement imposée à la flamme,
• ${\delta }_L$ est l'épaisseur d'une flamme plane,
• ${\tau }_L=D_{T,u}/S_L^2$ est le temps de séjour de la flamme plane où $D_{T,u}$ représente la diffusivité thermique dans le mélange de gaz imbrûlés.

Un exemple simple : le brûleur à fente

Brûleur 1D.

L'équation G a une expression exacte pour un brûleur à fente simple. Considérons un brûleur à fente plan bidimensionnel de largeur de fente $b$. Le mélange de réactifs pré-mélangés est introduit dans la fente par le bas avec une vitesse constante $𝐯=(0,U)$, où la coordonnée $(x,y)$ est choisie de telle sorte que $x=0$ se trouve au centre de la fente et $y=0$ se trouve à l'emplacement de l'embouchure de la fente. Lorsque le mélange est enflammé, une flamme pré-mélangée se développe depuis l'embouchure de la fente jusqu'à une certaine hauteur $y=L$ sous la forme d'un dièdre bidimensionnel avec un angle $\alpha$. Pour simplifier, supposons $S_T=S_L$, ce qui est une bonne approximation sauf près du coin du dièdre où les effets de courbure deviennent importants. Dans le cas stationnaire, l'équation de G se réduit à :

$U\frac{\partial G}{\partial y}=S_L\sqrt{{\left(\frac{\partial G}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial G}{\partial y}\right)}^2}$

Si une solution à variables séparées $G(x,y)=y+f(x)$ est introduite, alors l'équation devient :

$U=S_L\sqrt{1+{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2}\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\sqrt{U^2-S_L^2}}{S_L}$

qui après intégration donne

$f(x)=\frac{{(U^2-S_L^2)}^{1/2}}{S_L}|x|+C\Rightarrow G(x,y)=\frac{{(U^2-S_L^2)}^{1/2}}{S_L}|x|+y+C$

Sans perte de généralité, on peut choisir l'emplacement de la flamme à $G(x,y)=G_o=0$. Puisque la flamme est attachée à l'embouchure de la fente $|x|=b/2,y=0$, la condition limite est $G(b/2,0)=0$, qui peut être utilisée pour évaluer la constante $C$. Ainsi, le champ scalaire est :

$G(x,y)=\frac{{(U^2-S_L^2)}^{1/2}}{S_L}(|x|-\frac{b}{2})+y$

À la pointe de la flamme, on a $x=0,y=L,G=0$, ce qui permet de déterminer la hauteur de la flamme :

$L=\frac{b{(U^2-S_L^2)}^{1/2}}{2S_L}$

et l'angle de la flamme $\alpha$,

$\tan \alpha =\frac{b/2}{L}=\frac{S_T}{{(U^2-S_L^2)}^{1/2}}$

En utilisant l'identité ${\tan }^2\alpha ={\sin }^2\alpha /(1-{\sin }^2\alpha )$ on a :

$\sin \alpha =\frac{S_L}{U}$

Cette expression est souvent utilisée pour définir la vitesse de combustion $S_L$ en mesurant l'angle de dièdre.