Équation aux dérivées partielles elliptique

Modèle:Ébauche En mathématiques, une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre, dont la forme générale est donnée par :

$\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(𝐱)\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}+\sum _{i=1}^n{b}_i(𝐱)\frac{\partial f}{\partial x_i}+c(𝐱)f=h(𝐱),𝐱\in U\subset {ℝ}^n$

est dite elliptique en un point donné x de l'ouvert U si la matrice carrée symétrique $A(𝐱)={\left(a_{ij}\right)}_{1\le i,j\le n}$ des coefficients du second ordre admet des valeurs propres non nulles et de même signe.

Exemples

En physique, les équations de Laplace, $\mathrm{\Delta }V=0$ et de Poisson $\mathrm{\Delta }V+\frac{\rho }{{ϵ}_0}=0$ pour le potentiel électrostatique $V=V(𝐫)$ respectivement dans le vide et pour la distribution de charges $\rho =\rho (𝐫)$ sont de type elliptique. En effet la matrice A est ici la matrice unité, et donc ses valeurs propres sont toutes égales à 1, donc non nulles et de même signe.

En revanche pour l'équation d'onde scalaire $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}-c^2\mathrm{\Delta }f=0$ la matrice A est donnée par $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -c^2& 0& 0\\ 0& 0& -c^2& 0\\ 0& 0& 0& -c^2\end{array}\right)$, donc elle possède des valeurs propres non nulles, 1 et -c², mais de signe opposé. Il ne s'agit donc pas d'une équation aux dérivées partielles elliptique, mais d'une équation aux dérivées partielles hyperbolique.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage.

Voir aussi

• Équation aux dérivées partielles
• Équation aux dérivées partielles parabolique
• Équation aux dérivées partielles hyperbolique