Formule d'inversion de Möbius

La formule d'inversion de Möbius classique a été introduite dans la théorie des nombres au cours du Modèle:S- par August Ferdinand Möbius. Elle a été généralisée plus tard à d'autres « formules d'inversion de Möbius ».

Énoncé

La version classiqueModèle:, déclare que pour toutes fonctions arithmétiques Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, on a

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)$

si et seulement si Modèle:Mvar est la transformée de Möbius de Modèle:Mvar, Modèle:C.-à-d.

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)g(n/d)$

où Modèle:Mvar est la fonction de Möbius et les sommes portent sur tous les diviseurs strictement positifs Modèle:Mvar de Modèle:Mvar.

L'équivalence reste vraie si les fonctions Modèle:Mvar et Modèle:Mvar (définies sur l'ensemble ℕ* des entiers strictement positifs) sont à valeurs dans un groupe abélien (vu comme ℤ-module).

Preuve par convolution

Convolution de Dirichlet

On se place dans l'anneau commutatif F des fonctions arithmétiques, défini comme suit. L'ensemble F des fonctions arithmétiques est naturellement muni d'une addition qui en fait un groupe abélien. On le munit d'une deuxième loi interne, la convolution de Dirichlet, en associant à deux éléments f et g de F la fonction f ✻ g définie par :

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}(f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d).$

Cette loi sur F est associative, commutative et distributive par rapport à l'addition, et il existe un élément neutre : la fonction notée ici [[Symbole de Kronecker|δModèle:Ind]] et définie par δModèle:Ind(1) = 1 et pour tout entier n > 1, δModèle:Ind(n) = 0.

Le groupe des inversibles (FModèle:Exp, ✻) de cet anneau est le groupe abélien constitué des fonctions f telles que f(1) ≠ 0 (les fonctions multiplicatives en forment un sous-groupe).

Démonstration

En notant 1 la fonction constante 1(n) = 1, la formule d'inversion se réécrit :

$g=f*\mathrm{1}\iff f=g*\mu$.

Cette équivalence résulte de la définition de μ comme l'inverse de 1 pour la convolution ✻ :

$\mathrm{1}*\mu =\mu *\mathrm{1}={\delta }_1$,

qui donne bien :

$g=f*\mathrm{1}\Rightarrow g*\mu =f*\mathrm{1}*\mu =f*{\delta }_1=f$

et

$f=g*\mu \Rightarrow f*\mathrm{1}=g*\mu *\mathrm{1}=g*{\delta }_1=g$.

Ces calculs restent valables pour f et g à valeurs dans un groupe abélien (G, +) car le sous-anneau de F constitué des applications à valeurs entières contient μ et 1, et les applications de ℕ* dans G forment un module à droite sur cet anneau, la loi externe étant la convolution définie par les mêmes formules.

Généralisation et preuve combinatoire

Contexte

Une approche combinatoire permet de généraliser l'étude ci-dessus. Soit A un ensemble partiellement ordonné dont la relation d'ordre est notée ≤. On définit les chaînes par :

En supposant que l'ordre sur A est Modèle:Lien, c'est-à-dire qu'il n'existe qu'un nombre fini d'éléments situés entre a et b, Gian-Carlo Rota construit alors [[Fonction de Möbius#Définitions et propriétés élémentaires|une nouvelle fonction de Möbius, qu'il note μModèle:Ind, caractérisée par]] :

Elle généralise la fonction de Möbius classique μ :

Formule d'inversion de Rota

La fonction μModèle:Ind vérifie la formule d'inversion suivante, qui généralise celle pour μ :

En effet, le produit de convolution de Dirichlet se généralise, permettant d'associer à tout ordre localement fini A son Modèle:Lien, et μModèle:Ind s'interprète alors comme un inverse dans cet anneau unitaire. Ceci fournit in fine une preuve très courte — analogue à celle donnée plus haut pour μ — de la formule d'inversion ci-dessus, mais nécessite de développer au préalable cette théorieModèle:,, alors qu'un calcul direct est possible :

En appliquant cette formule à d'autres ensembles partiellement ordonnés localement finis que celui des entiers strictement positifs ordonné par divisibilité, on obtient d'autres formules d'inversion de Möbius, comprenant entre autres le principe d'inclusion-exclusion de Moivre.

Lorsque l'ordre utilisé est l'ordre usuel sur les entiers naturels non nuls, on obtient la formule suivante, utile en combinatoire :

si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont deux fonctions définies sur l'intervalle Modèle:Math de ℝ à valeurs complexes et si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont deux fonctions arithmétiques inverses l'une de l'autre pour la convolution de Dirichlet (en particulier si Modèle:Math et Modèle:Mvar), alors

$\mathrm{\forall }x\ge 1G(x)=\sum _{1\le n\le x}\alpha (n)F(x/n)⟺\mathrm{\forall }x\ge 1F(x)=\sum _{1\le n\le x}\beta (n)G(x/n)$.

Applications

Des exemples sont donnés dans l'article Fonction multiplicative.

Arithmétique modulaire

Modèle:Voir L'indicatrice d'Euler φ vérifie :

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}n=\sum _{d|n}\phi (d)$.

La formule d'inversion donne alors :

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}\phi (n)=\sum _{d|n}\mu (d)\frac{n}{d}$.

Polynôme cyclotomique

Modèle:Voir La formule d'inversion de Möbius est valable pour toute fonction f de N* dans un groupe abélien. Si ce groupe est noté multiplicativement, la formule devient :

$\text{si}\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}g(n)=\prod _{d|n}f(d)\text{alors}\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}f(n)=\prod _{d|n}g(n/d{)}^{\mu (d)}.$

En prenant, comme groupe multiplicatif, celui des fractions rationnelles non nulles à coefficients rationnels et, comme fonction f, celle qui associe à tout entier n > 0 le nModèle:E polynôme cyclotomique ΦModèle:Ind, on obtient, en vertu de l'égalité

$X^n-1=\prod _{d|n}{\mathrm{\Phi }}_d(X)$

un moyen de calculer le nModèle:E polynôme cyclotomique :

${\mathrm{\Phi }}_n(X)=\prod _{d|n}(X^{n/d}-1{)}^{\mu (d)}.$

Ces deux équations précisent celles du paragraphe précédent, qui correspondent au degré des polynômes en jeu.

Polynôme irréductible et corps fini

Modèle:Voir Certains codes correcteurs, comme les codes cycliques sont construits à l'aide de l'anneau des polynômes à coefficients dans le corps fini F_q à q éléments et d'un polynôme irréductible et unitaire de degré nModèle:Refnec. C'est l'une des raisons pour lesquelles on s'intéresse au nombre mModèle:Ind(q) de polynômes irréductibles unitaires de degré n à coefficients dans F_q. Cette question est un exemple de problème de dénombrement faisant intervenir la fonction de Möbius.

On démontre algébriquement que

$q^n=\sum _{d|n}d{m}_d(q).$

Par inversion de Möbius, on en déduit :

$n{m}_n(q)=\sum _{d|n}\mu (d)q^{n/d},\text{i.e.}{m}_n(q)=\frac{1}{n}\sum _{d|n}\mu (d)q^{n/d}.$

Articles connexes

• Transformée de Möbius
• Série de Lambert
• Série de Dirichlet