Variété projective

En géométrie algébrique, les variétés projectives forment une classe importante de variétés. Elles vérifient des propriétés de compacité et des propriétés de finitude. C'est l'objet central de la géométrie algébrique globale.

Sur un corps algébriquement clos, les points d'une variété projective sont les points d'un ensemble algébrique projectif.

Définition

On fixe un corps (commutatif) Modèle:Mvar.

• Algèbre homogène. Soit Modèle:Mvar le quotient de $k[T_0,\dots ,T_n]$ par un idéal $I$ homogène (Modèle:C.-à-d. idéal engendré par des polynômes homogènes). C'est alors une algèbre graduée

$B={\oplus }_{d\ge 0}{B}_d,$

où $B_d$ est l'ensemble des classes modulo Modèle:Mvar des polynômes homogènes de degrés $d$. Les éléments de $B_d$ sont appelés des éléments homogènes de degré $d$. Un idéal homogène de Modèle:Mvar est un idéal engendré par des éléments homogènes. Un idéal homogène particulier est $B_{+},$ ensemble des éléments homogènes de degré strictement positif. C'est l'idéal maximal engendré par les classes des $T_0,\dots ,T_n$.

• Espace topologique. Par définition, l'ensemble $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}B$ est constitué des idéaux premiers homogènes de Modèle:Mvar ne contenant pas $B_{+}$ (donc strictement contenus dans $B_{+}$) et maximaux pour cette propriété. Pour tout idéal homogène Modèle:Mvar, on note $V_{+}(I)$ l'ensemble des idéaux premiers $q$ dans $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}B$ contenant Modèle:Mvar. Lorsque l'on fait varier les Modèle:Mvar, les parties $V_{+}(I)$ de $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}B$ constituent les parties fermées de la topologie de Zariski sur $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}B$.
• Une base de topologie. Si Modèle:Mvar est un élément homogène, on note $D_{+}(f)$ le complémentaire de $V_{+}(fB)$. C'est un ouvert principal. Les ouverts principaux constituent une base de topologie. De plus, l'espace topologique $D_{+}(f)$ est homéomorphe au spectre maximal $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{m}(B_{(f)})$, où $B_{(f)}$ est l'ensemble des éléments de la localisation $B_f$ qui peuvent être représentés par une fraction $b/f^m$ avec Modèle:Mvar homogène de degré $m\mathrm{deg}f$. L'algèbre $B_{(f)}$ est de type fini sur Modèle:Mvar.
• Proposition. Il existe une unique structure de variété algébrique sur $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}B$ telle que pour tout Modèle:Mvar homogène, la sous-variété ouverte $D_{+}(f)$ soit isomorphe à la variété affine $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{m}{B}_{(f)}$.
• Définition. Une variété projective sur Modèle:Mvar est une variété algébrique sur Modèle:Mvar isomorphe à $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}B$ pour une Modèle:Mvar-algèbre homogène Modèle:Mvar.
• Une variété quasi-projective est une sous-variété ouverte d'une variété projective. Toute variété affine se plonge comme sous-variété ouverte dans une variété projective. Ainsi toute variété quasi-affine est quasi-projective.

Exemples

• La variété projective $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}k[T_0,\dots ,T_n]$ s'appelle l'espace projectif de dimension Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar. On note cette variété ${\mathbb{P}}_k^n$ ou ${\mathbb{P}}_n$. Elle est réunion des $n+1$ ouverts $D_{+}(T_i)$ qui sont isomorphes à l'espace affine Spm $k[X_1,\dots ,X_n]$. Ses points sur Modèle:Mvar sont exactement les points de l'espace projectif de dimension Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar. Sa dimension de Krull est Modèle:Mvar.
• Si Modèle:Mvar est un polynôme homogène à $n+1$ variables et non nul. Alors $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}(k[T_0,\dots ,T_n]/(f))$ est une hypersurface de ${\mathbb{P}}_k^n$, donc de dimension $n-1$. Pour $n=2$, on obtient alors une courbe plane projective. C'est notamment le cas des courbes de Fermat (avec $f=T_0^p+T_1^p+T_2^p$ et $p>2$) et des courbes elliptiques.

Propriétés

• Si Modèle:Mvar est une algèbre homogène, quotient de $k[T_0,\dots ,T_n]$, alors $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}B$ est une sous-variété fermée de l'espace projectif ${\mathbb{P}}_k^n$. Inversement, on montre que toute sous-variété fermée d'un espace projectif (ou d'une variété projective) est une variété projective.
• Le produit de deux variétés projectives est une variété projective. Cela résulte du plongement de Segre qui identifie le produit ${\mathbb{P}}_k^n{\times }_k{\mathbb{P}}_k^m$ à une sous-variété fermée de ${\mathbb{P}}_k^{nm+n+m}$.
• Toute variété projective est séparée, et propre sur Modèle:Mvar.
• Tout morphisme d'une variété projective dans une variété algébrique séparée est une application fermée.
• Si Modèle:Mvar = ℝ ou ℂ, la variété topologique ${\mathbb{P}}_k^n$ est compacte. Pour toute variété projective Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar, l'ensemble $X(k)$ des [[point rationnel|Modèle:Mvar-points]] de Modèle:Mvar est alors une partie fermée (pour la topologie de la variété topologique) ${\mathbb{P}}_k^n$. En particulier, $X(k)$ est compact pour la topologie induite.
• Pour l'espace projectif ${\mathbb{P}}_k^n$, on montre aisément que l'algèbre O(${\mathbb{P}}_k^n$) des fonctions régulières sur ${\mathbb{P}}_k^n$ est égale à Modèle:Mvar (Modèle:C.-à-d. les seules fonctions régulières globales sont les fonctions constantes). Pour une variété projective Modèle:Mvar en général, la Modèle:Mvar-algèbre $O_X(X)$ est de dimension vectorielle finie. C'est un cas particulier du théorème de Serre sur la cohomologie des faisceaux cohérents. Les variétés projectives sont ainsi à rapprocher des espaces analytiques (complexes) compacts.
• Il en résulte qu'une variété projective qui est aussi affine est nécessairement constituée d'un nombre fini de points (Modèle:C.-à-d. de dimension 0).